Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para encontrar a solução, assumimos que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Fatorando:
Isso nos dá as raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o termo não homogêneo é , assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo.
(n)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Resolva os problemas de valor inicial.
Resolva os problemas de valor inicial.