Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para encontrar a solução, assumimos que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Fatorando:
Isso nos dá as raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, assumimos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
são constantes arbitrárias.
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Calcule os limites abaixo.
(n)
(n)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Resolva os problemas de valor inicial.
Resolva os problemas de valor inicial.