Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Observamos que o termo não homogêneo é
. Como
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada.
Então, tentamos:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam:
Passo 9
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equa��ão completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Então:
Passo 12
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Simplificando:
Como
, substituímos:
Então,
.
Passo 13
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial.
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(e)
(e)
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(j)
(j)