Resolva os problemas de valor inicial.
y'' - y' - 2y = 3e^(2x), y(0) = 0, y'(0) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde r é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Observamos que o termo não homogêneo é . Como já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por x para encontrar uma solução particular adequada.
Então, tentamos:
Onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Os termos com se cancelam:

Passo 9

Resolvendo para A:
Então, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equa��ão completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Então:

Passo 12

Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de y(x):
Aplicando x = 0:
Simplificando:
Como , substituímos:
Então, .

Passo 13

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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