Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de terceira ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que estamos ignorando o termo não homogêneo (o da equação original) para encontrar a base da solução geral.

Passo 3

Vamos assumir que a solução da equação homogênea tem a forma . Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 4

Fatorando a equação característica:
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado não homogêneo é , vamos supor uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Isso resulta em:
Mas aqui vemos que assumimos uma forma inadequada para porque a equação resultante depende de , que é linear. Para resolver isso, vamos tentar uma solução particular do tipo:

Passo 8

Assumindo , calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso ainda não resolve, já que deveria ser constante. Portanto, precisamos ajustar nossa suposição para uma solução particular que possa acomodar o termo . Vamos tentar:
Calculando novamente as derivadas:
Substituindo na equação:
Ainda não funciona. Então, vamos tentar uma solução particular de segunda ordem:
E, se necessário, ajustar mais.

Passo 9

Na verdade, percebi que precisamos usar o método dos coeficientes indeterminados de forma mais apropriada. Vamos tentar uma solução particular da forma:
Substituindo as derivadas na equação:
Isso implica que , o que não faz sentido, já que deve ser uma constante. Portanto, ajustamos nossa suposição para incluir termos de :
Mas ainda não resolve. Então, tentamos uma forma mais geral:

Passo 10

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 11

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para os termos constantes:
Portanto, a solução particular é:
Como a constante pode ser absorvida na solução homogênea, podemos considerar apenas:

Passo 12

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 13

Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeira condição: .
Substituindo :

Passo 14

Segunda condição: .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo :

Passo 15

Terceira condição: .
Calculamos a segunda derivada de :
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 16

Da primeira condição, sabemos que . Substituindo :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Calcule os limites abaixo.
(n)
Resolva os problemas de valor inicial.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(e)