Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de terceira ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso significa que estamos ignorando o termo não homogêneo (o
da equação original) para encontrar a base da solução geral.
Passo 3
Vamos assumir que a solução da equação homogênea tem a forma
. Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 4
Fatorando a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado não homogêneo é
, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Isso resulta em:
Mas aqui vemos que assumimos uma forma inadequada para
porque a equação resultante depende de
, que é linear. Para resolver isso, vamos tentar uma solução particular do tipo:
Passo 8
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso ainda não resolve, já que
deveria ser constante. Portanto, precisamos ajustar nossa suposição para uma solução particular que possa acomodar o termo
. Vamos tentar:
Calculando novamente as derivadas:
Substituindo na equação:
Ainda não funciona. Então, vamos tentar uma solução particular de segunda ordem:
E, se necessário, ajustar mais.
Passo 9
Na verdade, percebi que precisamos usar o método dos coeficientes indeterminados de forma mais apropriada. Vamos tentar uma solução particular da forma:
Substituindo as derivadas na equação:
Isso implica que
, o que não faz sentido, já que
deve ser uma constante. Portanto, ajustamos nossa suposição para incluir termos de
:
Mas ainda não resolve. Então, tentamos uma forma mais geral:
Passo 10
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 11
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para os termos constantes:
Portanto, a solução particular é:
Como a constante
pode ser absorvida na solução homogênea, podemos considerar apenas:
Passo 12
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 13
Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
:
Passo 14
Segunda condição:
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo
:
Passo 15
Terceira condição:
.
Calculamos a segunda derivada de
:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 16
Da primeira condição, sabemos que
. Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Calcule os limites abaixo.
(n)
(n)
Resolva os problemas de valor inicial.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(e)
(e)