Determinar uma transformação linear do no cujo núcleo é gerado por (1,1,0).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma transformação linear de para cujo núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que a transformação manda para o zero) é gerado pelo vetor . Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e suas propriedades, como núcleo e imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação, garantindo que apenas os múltiplos de estejam no núcleo.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso significa que:
Onde .
Passo 3
Queremos que o núcleo de seja todo múltiplo de . Isso significa que:
Vamos escrever isso em termos das entradas da matriz . Seja:
Então, a condição acima se torna:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos escolher os valores de que satisfaçam essas equações. Podemos expressar e . Vamos escolher valores simples para facilitar. Por exemplo, podemos escolher e , então:
Não temos restrições para e , então podemos escolher e para manter a matriz simples.
Passo 5
Com essas escolhas, a matriz fica:
Portanto, a transformação linear é dada por:
Resposta
Uma transformação linear com o núcleo gerado por é dada por: