Determinar uma transformação linear do no cujo núcleo é gerado por (1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma transformação linear de para cujo núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que a transformação manda para o zero) é gerado pelo vetor . Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e suas propriedades, como núcleo e imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação, garantindo que apenas os múltiplos de estejam no núcleo.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho . Isso significa que:
Onde .

Passo 3

Queremos que o núcleo de seja todo múltiplo de . Isso significa que:
Vamos escrever isso em termos das entradas da matriz . Seja:
Então, a condição acima se torna:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos escolher os valores de que satisfaçam essas equações. Podemos expressar e . Vamos escolher valores simples para facilitar. Por exemplo, podemos escolher e , então:
Não temos restrições para e , então podemos escolher e para manter a matriz simples.

Passo 5

Com essas escolhas, a matriz fica:
Portanto, a transformação linear é dada por:

Resposta

Uma transformação linear com o núcleo gerado por é dada por:

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Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
e)
Sejam e transformações lineares definidas por:
Determine: a) F+G
Considere a transformação linear definida por . Calcule a matriz representativa de F em relação à base padrão.