Determinar uma transformação linear do R^3 no R^2 cujo núcleo é gerado por (1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma transformação linear de R^3 para R^2 cujo núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que a transformação manda para o zero) é gerado pelo vetor (1,1,0). Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e suas propriedades, como núcleo e imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que represente essa transformação, garantindo que apenas os múltiplos de (1,1,0) estejam no núcleo.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear T: R^3 R^2 pode ser representada por uma matriz A de tamanho 2 times 3. Isso significa que:
T(x) = A x
Onde x = x y z .

Passo 3

Queremos que o núcleo de T seja todo múltiplo de (1,1,0). Isso significa que:
T(1,1,0) = A 1 1 0 = 0 0
Vamos escrever isso em termos das entradas da matriz A. Seja:
A = a & b & c d & e & f
Então, a condição acima se torna:
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 0 = 0
Simplificando:
a + b = 0 d + e = 0

Passo 4

Agora, precisamos escolher os valores de a, b, c, d, e, f que satisfaçam essas equações. Podemos expressar a = -b e d = -e. Vamos escolher valores simples para facilitar. Por exemplo, podemos escolher b = 1 e e = 1, então:
a = -1 d = -1
Não temos restrições para c e f, então podemos escolher c = 0 e f = 1 para manter a matriz simples.

Passo 5

Com essas escolhas, a matriz A fica:
A = -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1
Portanto, a transformação linear T é dada por:
T(x, y, z) = -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 x y z = -x + y -x + y + z

Resposta

Uma transformação linear com o núcleo gerado por (1,1,0) é dada por:
T(x, y, z) = -x + y -x + y + z

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