Sejam F: R^3 R^2 e G: R^3 R^2 transformações lineares definidas por:
F(x, y, z)=(2 x, y+z) e G(x, y, z)=(x-z, y)
Determine: a) F+G

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas transformações lineares, e , que vão de para . Precisamos encontrar a soma dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos lembrar que somar duas transformações lineares significa somar as suas componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as transformações F(x, y, z) = (2x, y + z) e G(x, y, z) = (x - z, y) de forma mais clara:
Aqui, pega um vetor de três dimensões e retorna um vetor de duas dimensões . Já faz a mesma coisa, mas retorna .

Passo 3

Agora, para encontrar , vamos somar as duas transformações componente a componente. Isso significa que vamos somar as primeiras componentes de e para obter a primeira componente de , e fazer o mesmo para a segunda componente.

Passo 4

Vamos fazer isso passo a passo:
  • Primeira componente de 2x + (x - z) = 3x - z :
(y + z) + y = 2y + z
  • Segunda componente de :

Resposta

Portanto, a soma das transformações (F + G)(x, y, z) = (3x - z, 2y + z) e é:

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