Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
e) F(x, y)=(x+1, y+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma aplicação é um operador linear. A função dada é . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de operadores lineares da álgebra linear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, o que é um operador linear? Basicamente, uma função que passa de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) é considerada linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade (ou multiplicação por escalar): para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma propriedade essencial de operadores lineares é que eles mapeiam o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a homogeneidade primeiro. Seja F(cx, cy) = (cx + 1, cy + 1) um escalar e cF(x, y) = c(x + 1, y + 1) = (c(x + 1), c(y + 1)) = (cx + c, cy + c) um vetor em (cx + 1, cy + 1) = (cx + c, cy + c) .
Calculando :
Agora, calculando :
Para que a homogeneidade seja verdadeira, precisaríamos que:
Mas, a menos que , isso não é válido para todos os . Portanto, a homogeneidade não se mantém.

Passo 4

Vamos agora verificar a aditividade. Sejam F(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) e (x1 + 1, y1 + 1) + (x2 + 1, y2 + 1) = (x1 + x2 + 2, y1 + y2 + 2) dois vetores em (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) = (x1 + x2 + 2, y1 + y2 + 2) .
Calculando :
Agora, calculando :
Para a aditividade ser válida, precisaríamos que:
O que claramente não é verdade, já que .

Passo 5

Além disso, uma forma rápida de verificar se uma função é linear é verificar se ela manda o vetor zero em zero. Vamos ver:
F(0, 0) = (0 + 1, 0 + 1) = (1, 1) neq (0, 0)
Como não é igual a , já podemos concluir que não é um operador linear.

Resposta

A aplicação não é um operador linear.

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