Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma aplicação
é um operador linear. A função dada é
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de operadores lineares da álgebra linear e verificar se a função
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, o que é um operador linear? Basicamente, uma função
que passa de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) é considerada linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma propriedade essencial de operadores lineares é que eles mapeiam o vetor zero para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar a homogeneidade primeiro. Seja
um escalar e
um vetor em
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Para que a homogeneidade seja verdadeira, precisaríamos que:
Mas, a menos que
, isso não é válido para todos os
. Portanto, a homogeneidade não se mantém.
Passo 4
Vamos agora verificar a aditividade. Sejam
e
dois vetores em
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Para a aditividade ser válida, precisaríamos que:
O que claramente não é verdade, já que
.
Passo 5
Além disso, uma forma rápida de verificar se uma função é linear é verificar se ela manda o vetor zero em zero. Vamos ver:
Como
não é igual a
, já podemos concluir que
não é um operador linear.
Resposta
A aplicação
não é um operador linear.