Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
d) F(x, y)=(0, x-y)

Passo 1

Vamos verificar se a aplicação é um operador linear. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente as propriedades que definem operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a aditividade para F(u + v) = F(u1 + v1, u2 + v2) = (0, (u1 + v1) - (u2 + v2)) .
Seja = (0, (u1 - u2) + (v1 - v2)) = (0, u1 - u2) + (0, v1 - v2) = F(u) + F(v) e . Então:
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade.
Para um escalar F(cu) = F(cu1, cu2) = (0, cu1 - cu2) = c(0, u1 - u2) = cF(u) e vetor :
Isso demonstra que a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A aplicação é um operador linear.

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Encontre T: R^2 R^3, tal que Im(T)=[(1,1,1),(0,1,0)].
Verificar quais das aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares :
f) F(x, y, z)=(z, 0, x)
Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
e) F(x, y)=(x+1, y+1)
Determinar uma transformação linear do R^3 no R^2 cujo núcleo é gerado por (1,1,0).