Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação definida por . Para isso, vamos precisar lembrar o que é núcleo, base e dimensão de um subespaço, além de verificar se a transformação é injetora. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, isso significa:
ú
Então, vamos resolver a equação .

Passo 3

Vamos igualar as duas componentes de a zero:
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Observando as duas equações, percebemos que elas são iguais em essência. Se somarmos as duas equações:
Isso significa que as duas equações são dependentes e representam a mesma reta. Então, vamos resolver uma delas para expressar uma variável em termos da outra. Vamos usar a primeira equação:
Então, todo vetor no núcleo é da forma .

Passo 5

Agora, podemos expressar o núcleo como:
ú
Isso significa que todos os vetores do núcleo são múltiplos de . Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto que contém apenas esse vetor.

Passo 6

Uma base para o núcleo é:
Isso porque qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como um múltiplo escalar de .

Passo 7

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 8

Agora, vamos verificar se a transformação é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. No nosso caso, o núcleo é , que contém infinitos vetores (todos os múltiplos de ), não apenas o vetor zero. Portanto, não é injetora.

Resposta

O núcleo de é , uma base para esse núcleo é , a dimensão do núcleo é 1 e a transformação não é injetora.

Exercícios relacionados

Quais das transformações abaixo são lineares?
§ .
Determinar a transformação linear tal que
Determine conhecendo os valores de na base de .
(a) , tal que
Prove que um número é par se, e somente se, seu quadrado é um número par. Prove o equivalente para números ímpares.