Nos problemas 16 a 19 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação
definida por
. Para isso, vamos precisar lembrar o que é núcleo, base e dimensão de um subespaço, além de verificar se a transformação é injetora. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de
é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Matemáticamente, isso significa:
Então, vamos resolver a equação
.
Passo 3
Vamos igualar as duas componentes de
a zero:
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Observando as duas equações, percebemos que elas são iguais em essência. Se somarmos as duas equações:
Isso significa que as duas equações são dependentes e representam a mesma reta. Então, vamos resolver uma delas para expressar uma variável em termos da outra. Vamos usar a primeira equação:
Então, todo vetor no núcleo é da forma
.
Passo 5
Agora, podemos expressar o núcleo como:
Isso significa que todos os vetores do núcleo são múltiplos de
. Portanto, uma base para o núcleo é o conjunto que contém apenas esse vetor.
Passo 6
Uma base para o núcleo é:
Isso porque qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como um múltiplo escalar de
.
Passo 7
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 8
Agora, vamos verificar se a transformação
é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. No nosso caso, o núcleo é
, que contém infinitos vetores (todos os múltiplos de
), não apenas o vetor zero. Portanto,
não é injetora.
Resposta
O núcleo de
é
, uma base para esse núcleo é
, a dimensão do núcleo é 1 e a transformação
não é injetora.
Exercícios relacionados
Quais das transformações abaixo são lineares?
§ .
§
Determinar a transformação linear
tal que
Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
(a) , tal que
(a)
Prove que um número é par se, e somente se, seu quadrado é um número par. Prove o equivalente para números ímpares.