Nos problemas 55 e 56 , determinar a equaçāo geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção dos planos pi1 e pi2.
56) A(-1,2,0), pi1: 2 x-y=0 pi2: x+y-z-4=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta de interseção dos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço. Vamos precisar das equações dos planos e , e do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta de interseção dos planos pi1: 2x - y = 0 e pi2: x + y - z - 4 = 0 . A reta onde dois planos se intersectam pode ser encontrada resolvendo o sistema de equações desses planos.
As equações são:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar a reta de interseção. Podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, da equação de 2x - y = 0 implies y = 2x , temos:
x + (2x) - z - 4 = 0 implies 3x - z - 4 = 0 implies z = 3x - 4
Agora, substituímos na equação de :

Passo 4

Agora, podemos parametrizar a reta de interseção usando x = t como parâmetro:
y = 2t
z = 3t - 4
r(t) = (t, 2t, 3t - 4)
Então, a equação paramétrica da reta de interseção é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o plano que passa pelo ponto e contém essa reta. Para isso, precisamos de um ponto no plano e de duas direções (vetores) que estão no plano. Já temos o ponto e a reta, que nos dá uma direção. Precisamos de mais um vetor que também esteja no plano.

Passo 6

Um vetor que está no plano pode ser encontrado conectando o ponto v = (0 - (-1), 0 - 2, -4 - 0) = (1, -2, -4) a qualquer ponto na reta de interseção. Vamos escolher para facilitar, então o ponto na reta é . O vetor que liga a é:

Passo 7

Agora temos dois vetores que estão no plano:
u = vetor diretor da reta = (1, 2, 3)
v = (1, -2, -4)
Para encontrar a normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = u times v
Calculando:
n = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & -2 & -4 = i(2 cdot (-4) - 3 cdot (-2)) - j(1 cdot (-4) - 3 cdot 1) + k(1 cdot (-2) - 2 cdot 1)
= i(-8 + 6) - j(-4 - 3) + k(-2 - 2)
= i(-2) - j(-7) + k(-4)
= (-2, 7, -4)

Passo 8

Agora que temos o vetor normal -2(x - x0) + 7(y - y0) - 4(z - z0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
-2(x + 1) + 7(y - 2) - 4(z - 0) = 0
Usando o ponto -2x - 2 + 7y - 14 - 4z = 0 :
-2x + 7y - 4z - 16 = 0
Expandindo:

Resposta

A equação geral do plano é:
-2x + 7y - 4z - 16 = 0

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