Nos problemas 55 e 56 , determinar a equaçāo geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção dos planos e .
56) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta de interseção dos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço. Vamos precisar das equações dos planos e , e do ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta de interseção dos planos e . A reta onde dois planos se intersectam pode ser encontrada resolvendo o sistema de equações desses planos.
As equações são:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar a reta de interseção. Podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, da equação de , temos:
Agora, substituímos na equação de :
Passo 4
Agora, podemos parametrizar a reta de interseção usando como parâmetro:
Então, a equação paramétrica da reta de interseção é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o plano que passa pelo ponto e contém essa reta. Para isso, precisamos de um ponto no plano e de duas direções (vetores) que estão no plano. Já temos o ponto e a reta, que nos dá uma direção. Precisamos de mais um vetor que também esteja no plano.
Passo 6
Um vetor que está no plano pode ser encontrado conectando o ponto a qualquer ponto na reta de interseção. Vamos escolher para facilitar, então o ponto na reta é . O vetor que liga a é:
Passo 7
Agora temos dois vetores que estão no plano:
Para encontrar a normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando:
Passo 8
Agora que temos o vetor normal , podemos usar a equação geral do plano: