Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da tem forma diagonal e achar esta matriz.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a transformação linear é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Precisamos encontrar os autovalores de , verificar se existem autovetores suficientes para formar uma base e, se for o caso, construir a matriz diagonal e a base correspondente.
Passo 2
Primeiro, representamos a transformação linear como uma matriz. Para a transformação dada, a matriz correspondente é:
Passo 3
Em seguida, encontramos os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de det -1 - lambda & 0 & 0 0 & 3 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda = (-1 - lambda)(3 - lambda)(-1 - lambda) = 0 que satisfazem a equação característica:
Calculando:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 4
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Isso nos dá . Então, os autovetores são da forma . Podemos escolher e .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá e . Então, os autovetores são da forma . Podemos escolher .
Passo 5
Verificamos se temos autovetores suficientes para formar uma base do espaço. Como temos três autovetores linearmente independentes , e , eles formam uma base.
Passo 6
Como temos uma base composta por autovetores distintos, a matriz D = -1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. A matriz diagonal será formada pelos autovalores nas respectivas posições:
A base na qual é diagonal é .
Resposta
A transformação D = -1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. Uma base na qual a matriz de é diagonal é , e a matriz diagonal correspondente é: