Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da T tem forma diagonal e achar esta matriz. T(x, y, z)=(-x, 3 y,-z)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a transformação linear é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Precisamos encontrar os autovalores de , verificar se existem autovetores suficientes para formar uma base e, se for o caso, construir a matriz diagonal e a base correspondente.

Passo 2

Primeiro, representamos a transformação linear A = -1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 como uma matriz. Para a transformação dada, a matriz correspondente é:

Passo 3

Em seguida, encontramos os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de det -1 - lambda & 0 & 0 0 & 3 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda = (-1 - lambda)(3 - lambda)(-1 - lambda) = 0 que satisfazem a equação característica:
Calculando:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 4

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos -4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -4 v1 v2 v3 = 0 0 0 :

[


]
Isso nos dá . Então, os autovetores são da forma . Podemos escolher e .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá e . Então, os autovetores são da forma . Podemos escolher .

Passo 5

Verificamos se temos autovetores suficientes para formar uma base do espaço. Como temos três autovetores linearmente independentes , e , eles formam uma base.

Passo 6

Como temos uma base composta por autovetores distintos, a matriz D = -1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. A matriz diagonal será formada pelos autovalores nas respectivas posições:
A base na qual é diagonal é .

Resposta

A transformação D = -1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. Uma base na qual a matriz de é diagonal é , e a matriz diagonal correspondente é:

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