Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função:
Esse problema está dentro da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão e preparar para a decomposição em frações parciais. A função que temos é:
Vamos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Agora, vamos escrever essa fração como uma soma de frações parciais.
Passo 3
A decomposição em frações parciais para essa expressão vai ter a forma:
Aqui,
,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos para encontrar as constantes.
Passo 5
Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Agora, para encontrar
e
, expandimos a equação original:
Explicando a expansão e igualando os coeficientes, encontramos:
Passo 6
Substituindo os valores encontrados, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:
Resposta
Então, a transformada inversa de Laplace é:
Exercícios relacionados
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar
.
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar
.
Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
Determine as derivadas parciais da função: