Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função:
Esse problema está dentro da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão e preparar para a decomposição em frações parciais. A função que temos é:
Vamos fatorar o denominador:
Então, a fração fica:
Agora, vamos escrever essa fração como uma soma de frações parciais.

Passo 3

A decomposição em frações parciais para essa expressão vai ter a forma:
Aqui, , , e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos para encontrar as constantes.

Passo 5

Escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
Agora, para encontrar e , expandimos a equação original:
Explicando a expansão e igualando os coeficientes, encontramos:

Passo 6

Substituindo os valores encontrados, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:

Resposta

Então, a transformada inversa de Laplace é:

Exercícios relacionados

Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .
Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
Determine as derivadas parciais da função: