Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a Transformada de Laplace de uma função definida por partes. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace. Vamos precisar dividir a função em intervalos onde ela é definida e integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Aqui, é uma variável complexa e é a função que queremos transformar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função dada:
Como a função tem dois comportamentos diferentes em intervalos distintos, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , onde
  2. De ao infinito, onde

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira parte (de 0 a 1):
Integrando, temos:
Segunda parte (de 1 ao infinito):
Integrando, temos:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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Resolva.
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .
Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.