Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a Transformada de Laplace de uma função
definida por partes. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace. Vamos precisar dividir a função em intervalos onde ela é definida e integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa e
é a função que queremos transformar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função dada:
Como a função tem dois comportamentos diferentes em intervalos distintos, vamos dividir a integral em duas partes:
- De
a , onde - De
ao infinito, onde
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira parte (de 0 a 1):
Integrando, temos:
Segunda parte (de 1 ao infinito):
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas partes que calculamos:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
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Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Resolva.
Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar
.
Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.