Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace de . O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e aplicar algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aqui, é uma variável complexa e é o tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função :
Para facilitar a integração, podemos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 4

A Transformada de Laplace é uma operação linear, o que significa que podemos separar a integral:
Agora, precisamos lembrar das transformadas de Laplace de cada monômio:
Onde é o fatorial de .

Passo 5

Aplicando essa fórmula, temos:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
Simplificando:

Resposta

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Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.