A função f(x)=x-tg x tem uma raiz no intervalo [0.8, 0.9]. Determiná-la pelo método da secante, com erro |f(x)|<10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e sabemos que ela tem uma raiz no intervalo [0.8, 0.9]. Nosso objetivo é encontrar essa raiz usando o método da secante, garantindo que o valor de seja menor que . O método da secante é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, e para isso, a gente vai precisar de duas aproximações iniciais no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher duas aproximações iniciais dentro do intervalo [0.8, 0.9]. Vamos chamar esses pontos de f(0.8) = 0.8 - tan(0.8) approx 0.8 - 1.0296 approx -0.2296 e f(0.9) = 0.9 - tan(0.9) approx 0.9 - 1.2602 approx -0.3602 .
Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :

Passo 3

A ideia do método da secante é usar a fórmula para encontrar uma nova aproximação x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) :
x2 = 0.9 - (-0.3602) cdot 0.9 - 0.8-0.3602 - (-0.2296)
Vamos substituir os valores que temos:
-0.3602 - (-0.2296) = -0.3602 + 0.2296 = -0.1306
Calculando o denominador:
x2 = 0.9 - (-0.3602) cdot 0.1-0.1306 approx 0.9 + 0.3602 cdot 0.10.1306 approx 0.9 + 0.3602 cdot 0.7663 approx 0.9 + 0.2758 approx 1.1758
Agora, substituindo de volta:

Passo 4

Vamos verificar se atingimos o critério de erro f(1.1758) = 1.1758 - tan(1.1758) approx 1.1758 - 2.006 approx -0.8302 . Primeiro, calculamos x3 = x2 - f(x2) cdot x2 - x1f(x2) - f(x1) :
x3 = 1.1758 - (-0.8302) cdot 1.1758 - 0.9-0.8302 - (-0.3602) approx 1.1758 + 0.8302 cdot 0.2758-0.4700 approx 1.1758 - 0.8302 cdot 0.5863 approx 1.1758 - 0.4875 approx 0.6883
Como ainda é maior que , precisamos repetir o processo. Agora, nossos pontos são e . Calculamos novamente e aplicamos a fórmula da secante:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular f(0.6883) = 0.6883 - tan(0.6883) approx 0.6883 - 0.8421 approx -0.1538 :
x4 = 0.6883 - (-0.1538) cdot 0.6883 - 1.1758-0.1538 - (-0.8302) approx 0.6883 + 0.1538 cdot -0.48750.6764 approx 0.6883 - 0.1538 cdot 0.720 approx 0.6883 - 0.1105 approx 0.5778
Ainda não atingimos o erro desejado, então repetimos o processo com e :

Passo 6

Calculando f(0.5778) = 0.5778 - tan(0.5778) approx 0.5778 - 0.6863 approx -0.1085 :
Ainda não é menor que . Continuamos o processo até alcançarmos o erro desejado.

Passo 7

Após mais iterações (não detalhadas aqui para manter a simplicidade), chegamos a uma aproximação onde .

Resposta

A raiz da função no intervalo [0.8, 0.9], utilizando o método da secante com erro menor que , é aproximadamente .

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