Num reservatório semi-esférico de raio R=5 m deve-se armazenar água. Se o volume não puder passar de 65 m^3, usando o método da secante determine a altura máxima que a água pode atingir. Observe que a relação entre altura e o volume é V(h)=pi h^33(3 R-h). Considere h0=0.9, h1=1, critério de parada erro relativo e tolerância varepsilon <= 10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um reservatório semiesférico com raio R = 5, m que precisa armazenar água. A gente sabe que o volume máximo permitido é 65, m^3. Nosso objetivo é encontrar a altura máxima h que a água pode atingir nesse reservatório sem ultrapassar esse volume, usando o método da secante. Para isso, vamos precisar entender a relação entre a altura e o volume da água, que é dada por:
V(h) = pi h^33(3 R - h)
Vamos seguir passo a passo e aplicar o método da secante para encontrar essa altura máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver. Nosso objetivo é encontrar o valor de h que faz com que o volume V(h) seja igual a 65, m^3. Então, vamos montar a equação:
V(h) = 65
Substituindo a expressão de V(h), temos:
pi h^33(3 R - h) = 65
Vamos reorganizar essa equação para deixar tudo igual a zero, pois o método da secante resolve equações da forma f(h) = 0:
f(h) = pi h^33(3 R - h) - 65 = 0

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da secante. Esse método utiliza duas aproximações iniciais para encontrar a raiz da função. No nosso caso, os palpites são h0 = 0.9 e h1 = 1. A fórmula do método da secante é:
hn+1 = hn - f(hn) cdot hn - hn-1f(hn) - f(hn-1)
Vamos calcular f(h) para os valores iniciais.

Passo 4

Primeiro, calculamos f(h0):
f(0.9) = pi (0.9)^33(15 - 0.9) - 65
Calculando passo a passo:
(0.9)^3 = 0.729
3 R - h = 15 - 0.9 = 14.1
pi cdot 0.7293 cdot 14.1 = pi cdot 0.729 cdot 14.13 approx 32.33 approx 10.77
f(0.9) = 10.77 - 65 = -54.23

Passo 5

Agora, calculamos f(h1):
f(1) = pi (1)^33(15 - 1) - 65
Simplificando:
1^3 = 1
3 R - h = 15 - 1 = 14
pi cdot 13 cdot 14 = 14pi3 approx 14.66
f(1) = 14.66 - 65 = -50.34

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar h2:
h2 = 1 - ( -50.34 ) cdot 1 - 0.9-50.34 - (-54.23)
Calculando o denominador:
-50.34 - (-54.23) = 3.89
Calculando a fração:
1 - 0.93.89 = 0.13.89 approx 0.0257
Então:
h2 = 1 - (-50.34) cdot 0.0257 approx 1 + 1.294 approx 2.294

Passo 7

Verificamos o erro relativo entre h2 e h1:
Erro relativo = | 2.294 - 12.294 | approx | 1.2942.294 | approx 0.564 , (56.4%)
Como o erro ainda é maior que 0.01, precisamos continuar iterando.

Passo 8

Atualizamos nossos valores: h0 = 1, h1 = 2.294.
Calculamos f(2.294):
f(2.294) = pi (2.294)^33(15 - 2.294) - 65
Calculando passo a passo:
(2.294)^3 approx 12.07
3 R - h = 15 - 2.294 = 12.706
pi cdot 12.073 cdot 12.706 approx 12.07pi cdot 12.7063 approx 483.153 approx 161.05
f(2.294) = 161.05 - 65 = 96.05

Passo 9

Aplicamos novamente a fórmula da secante para encontrar h3:
h3 = 2.294 - 96.05 cdot 2.294 - 196.05 - (-50.34)
Calculando o denominador:
96.05 - (-50.34) = 146.39
Calculando a fração:
2.294 - 1146.39 = 1.294146.39 approx 0.00884
Então:
h3 = 2.294 - 96.05 cdot 0.00884 approx 2.294 - 0.849 approx 1.445

Passo 10

Verificamos o erro relativo entre h3 e h2:
Erro relativo = | 1.445 - 2.2941.445 | approx | -0.8491.445 | approx 0.587 , (58.7%)
Ainda acima da tolerância, continuamos.

Passo 11

Atualizamos: h0 = 2.294, h1 = 1.445.
Calculamos f(1.445):
f(1.445) = pi (1.445)^33(15 - 1.445) - 65
Calculando:
(1.445)^3 approx 3.02
3 R - h = 15 - 1.445 = 13.555
pi cdot 3.023 cdot 13.555 approx 3.02pi cdot 13.5553 approx 128.713 approx 42.902
f(1.445) = 42.902 - 65 = -22.098

Passo 12

Aplicamos a secante para encontrar h4:
h4 = 1.445 - (-22.098) cdot 1.445 - 2.294-22.098 - 96.05
Calculando o denominador:
-22.098 - 96.05 = -118.148
Calculando a fração:
1.445 - 2.294-118.148 = -0.849-118.148 approx 0.00719
Então:
h4 = 1.445 - (-22.098) cdot 0.00719 approx 1.445 + 0.159 approx 1.604

Passo 13

Verificamos o erro relativo entre h4 e h3:
Erro relativo = | 1.604 - 1.4451.604 | approx | 0.1591.604 | approx 0.099 , (9.9%)
Ainda acima de 1%, mas já próximo. Continuamos.

Passo 14

Atualizamos: h0 = 1.445, h1 = 1.604.
Calculamos f(1.604):
f(1.604) = pi (1.604)^33(15 - 1.604) - 65
Calculando:
(1.604)^3 approx 4.116
3 R - h = 15 - 1.604 = 13.396
pi cdot 4.1163 cdot 13.396 approx 4.116pi cdot 13.3963 approx 173.863 approx 57.953
f(1.604) = 57.953 - 65 = -7.047

Passo 15

Aplicamos a secante para encontrar h5:
h5 = 1.604 - (-7.047) cdot 1.604 - 1.445-7.047 - (-22.098)
Calculando o denominador:
-7.047 - (-22.098) = 15.051
Calculando a fração:
1.604 - 1.44515.051 = 0.15915.051 approx 0.01056
Então:
h5 = 1.604 - (-7.047) cdot 0.01056 approx 1.604 + 0.0745 approx 1.6785

Passo 16

Verificamos o erro relativo entre h5 e h4:
Erro relativo = | 1.6785 - 1.6041.6785 | approx | 0.07451.6785 | approx 0.0443 , (4.43%)
Ainda acima da tolerância, seguimos.

Passo 17

Atualizamos: h0 = 1.604, h1 = 1.6785.
Calculamos f(1.6785):
f(1.6785) = pi (1.6785)^33(15 - 1.6785) - 65
Calculando:
(1.6785)^3 approx 4.731
3 R - h = 15 - 1.6785 = 13.3215
pi cdot 4.7313 cdot 13.3215 approx 4.731pi cdot 13.32153 approx 198.63 approx 66.2
f(1.6785) = 66.2 - 65 = 1.2

Passo 18

Aplicamos a secante para encontrar h6:
h6 = 1.6785 - 1.2 cdot 1.6785 - 1.6041.2 - (-7.047)
Calculando o denominador:
1.2 - (-7.047) = 8.247
Calculando a fração:
1.6785 - 1.6048.247 = 0.07458.247 approx 0.00903
Então:
h6 = 1.6785 - 1.2 cdot 0.00903 approx 1.6785 - 0.0108 approx 1.6677

Passo 19

Verificamos o erro relativo entre h6 e h5:
Erro relativo = | 1.6677 - 1.67851.6677 | approx | -0.01081.6677 | approx 0.0065 , (0.65%)
Agora, o erro está abaixo da tolerância de 1%. Podemos parar aqui.

Resposta

A altura máxima que a água pode atingir no reservatório é aproximadamente 1.668, m.

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