Num reservatório semi-esférico de raio deve-se armazenar água. Se o volume não puder passar de , usando o método da secante determine a altura máxima que a água pode atingir. Observe que a relação entre altura e o volume é . Considere , critério de parada erro relativo e tolerância .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um reservatório semiesférico com raio que precisa armazenar água. A gente sabe que o volume máximo permitido é . Nosso objetivo é encontrar a altura máxima que a água pode atingir nesse reservatório sem ultrapassar esse volume, usando o método da secante. Para isso, vamos precisar entender a relação entre a altura e o volume da água, que é dada por:
Vamos seguir passo a passo e aplicar o método da secante para encontrar essa altura máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que o volume seja igual a . Então, vamos montar a equação:
Substituindo a expressão de , temos:
Vamos reorganizar essa equação para deixar tudo igual a zero, pois o método da secante resolve equações da forma :
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da secante. Esse método utiliza duas aproximações iniciais para encontrar a raiz da função. No nosso caso, os palpites são e . A fórmula do método da secante é:
Vamos calcular para os valores iniciais.
Passo 4
Primeiro, calculamos :
Calculando passo a passo:
Passo 5
Agora, calculamos :
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar :
Calculando o denominador:
Calculando a fração:
Então:
Passo 7
Verificamos o erro relativo entre e :
Como o erro ainda é maior que 0.01, precisamos continuar iterando.