Determinar o valor da constante a para que a função f(x) = { raiz(x), se x <= 4; a(8 - x), se x > 4 } seja derivável em x = 4.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar o valor da constante que faz com que a função seja derivável em . Para isso, precisamos trabalhar com conceitos de continuidade e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 4 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Então, calculamos:
Para que a função seja contínua em :

Passo 3

Agora, vamos verificar a derivabilidade em . Para a função ser derivável nesse ponto, as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada da parte da função para :
Então, a derivada pela esquerda em :
Agora, a derivada da parte da função para :
Portanto, a derivada pela direita em :
Para a função ser derivável em , devemos ter:

Passo 4

Agora, observamos que temos duas condições para :
  1. Continuidade:
  2. Derivabilidade:
Essas duas condições nos dão valores diferentes para , ou seja, não há um valor de que satisfaça simultaneamente as duas condições.

Resposta

Não existe valor de que torne a função derivável em .

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