Determinar o valor da constante
para que a função
seja derivável em
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar o valor da constante
que faz com que a função
seja derivável em
. Para isso, precisamos trabalhar com conceitos de continuidade e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 4 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Então, calculamos:
Para que a função seja contínua em
:
Passo 3
Agora, vamos verificar a derivabilidade em
. Para a função ser derivável nesse ponto, as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada da parte da função para
:
Então, a derivada pela esquerda em
:
Agora, a derivada da parte da função para
:
Portanto, a derivada pela direita em
:
Para a função ser derivável em
, devemos ter:
Passo 4
Agora, observamos que temos duas condições para
:
- Continuidade:
- Derivabilidade:
Essas duas condições nos dão valores diferentes para
, ou seja, não há um valor de
que satisfaça simultaneamente as duas condições.
Resposta
Não existe valor de
que torne a função
derivável em
.
Exercícios relacionados
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Mostre que
é contínua em
, mas não é derivável neste ponto.
Determinar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
.
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados: