Seja a função dada por . Verifique se é derivável em

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa verificar se ela é derivável em todo o conjunto dos números reais, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar onde a função pode não ser suavemente contínua, porque é aí que a derivada pode não existir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto muda de comportamento dependendo se é positivo ou negativo. Então, é bom dividir a função em duas partes para facilitar a análise:
  • Quando :
    , então
  • Quando :
    , então

Passo 3

Agora que a gente dividiu a função em duas partes, vamos calcular a derivada em cada intervalo.
  • Para :
    A derivada é:
  • Para :
    A derivada é:

Passo 4

O ponto crítico aqui é , onde a definição da função muda. Precisamos verificar se a derivada existe exatamente nesse ponto. Para isso, vamos calcular os limites da derivada pela esquerda e pela direita de 2.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):

Passo 5

Já que os limites das derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais e valem 0, isso indica que a derivada existe nesse ponto também. Além disso, fora de , a função é diferenciável porque as derivadas estão bem definidas nos intervalos e .

Resposta

A função é derivável em todo o conjunto dos números reais, ou seja, é derivável em .

Exercícios relacionados

Mostre que é contínua em , mas não é derivável neste ponto.
Encontrar as derivada laterais no ponto indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Determinar o valor da constante para que a função seja derivável em .
Determinar os valores das constantes e para que a função seja derivável em .