Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa verificar se ela é derivável em todo o conjunto dos números reais, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e analisar onde a função pode não ser suavemente contínua, porque é aí que a derivada pode não existir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto
muda de comportamento dependendo se
é positivo ou negativo. Então, é bom dividir a função em duas partes para facilitar a análise:
-
Quando
:
, então -
Quando
:
, então
Passo 3
Agora que a gente dividiu a função em duas partes, vamos calcular a derivada em cada intervalo.
-
Para
: A derivada é: -
Para
: A derivada é:
Passo 4
O ponto crítico aqui é
, onde a definição da função muda. Precisamos verificar se a derivada existe exatamente nesse ponto. Para isso, vamos calcular os limites da derivada pela esquerda e pela direita de 2.
-
Limite pela esquerda (
): -
Limite pela direita (
):
Passo 5
Já que os limites das derivadas pela esquerda e pela direita em
são iguais e valem 0, isso indica que a derivada existe nesse ponto também. Além disso, fora de
, a função é diferenciável porque as derivadas estão bem definidas nos intervalos
e
.
Resposta
A função
é derivável em todo o conjunto dos números reais, ou seja,
é derivável em
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é contínua em
, mas não é derivável neste ponto.
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Determinar o valor da constante
para que a função
seja derivável em
.
Determinar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
.