Determinar os valores das constantes e para que a função seja derivável em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes e para que a função seja derivável em . A matéria que vamos usar aqui envolve continuidade de funções e derivadas, especialmente o conceito de derivabilidade em um ponto. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, precisamos que os limites da função quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita sejam iguais e também iguais ao valor da função em .
Quando , a função é . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita:
Agora, para , a função é . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então tende a 0 quando tende a 0. Portanto:
Para a função ser contínua em 0, os limites devem ser iguais:
Isso nos dá a primeira equação: .

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Para isso, as derivadas à esquerda e à direita de 0 devem existir e ser iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de para :
A derivada é:
Vamos analisar o limite dessa derivada quando tende a 0 pela esquerda:
O termo tende a 0 porque está indo para 0 e está limitado entre -1 e 1. Já o termo oscila entre -1 e 1, mas como não temos um valor específico, o limite não existe de forma tradicional. Porém, para a função ser derivável, precisamos que essa oscilação seja anulada, levando a:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de para :
A derivada é:
Portanto, o limite da derivada quando tende a 0 pela direita é simplesmente :

Passo 5

Para que a função seja derivável em , as derivadas à esquerda e à direita devem ser iguais:
Já tínhamos a primeira equação . Substituindo nessa equação:

Resposta

Os valores das constantes são e .

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Determinar o valor da constante para que a função seja derivável em .
Seja a função dada por . Verifique se é derivável em
Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:
Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados: