Determinar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
. A matéria que vamos usar aqui envolve continuidade de funções e derivadas, especialmente o conceito de derivabilidade em um ponto. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, precisamos que os limites da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita sejam iguais e também iguais ao valor da função em
.
Quando
, a função é
. Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita:
Agora, para
, a função é
. Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda:
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, então
tende a 0 quando
tende a 0. Portanto:
Para a função ser contínua em 0, os limites devem ser iguais:
Isso nos dá a primeira equação:
.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Para isso, as derivadas à esquerda e à direita de 0 devem existir e ser iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
para
:
A derivada é:
Vamos analisar o limite dessa derivada quando
tende a 0 pela esquerda:
O termo
tende a 0 porque
está indo para 0 e
está limitado entre -1 e 1. Já o termo
oscila entre -1 e 1, mas como não temos um valor específico, o limite não existe de forma tradicional. Porém, para a função ser derivável, precisamos que essa oscilação seja anulada, levando a:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
para
:
A derivada é:
Portanto, o limite da derivada quando
tende a 0 pela direita é simplesmente
:
Passo 5
Para que a função seja derivável em
, as derivadas à esquerda e à direita devem ser iguais:
Já tínhamos a primeira equação
. Substituindo
nessa equação:
Resposta
Os valores das constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Determinar o valor da constante
para que a função
seja derivável em
.
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados: