Mostre que
é contínua em
, mas não é derivável neste ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a função
é contínua em
, mas que ela não é derivável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender de continuidade e derivabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda for igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1. Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando
se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1. Aqui usamos a segunda parte da função:
.
Passo 5
O valor da função em
é dado pela primeira parte da definição, já que
:
Passo 6
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em
, concluímos que
é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a derivabilidade. Para a função ser derivável em
, as derivadas pela esquerda e pela direita precisam ser iguais.
Passo 8
Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda usando
:
Então,
Passo 9
Agora, a derivada pela direita usando
:
Então,
Passo 10
As derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes (
). Isso significa que a função não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.
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Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Determinar o valor da constante
para que a função
seja derivável em
.