Mostre que é contínua em , mas não é derivável neste ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a função é contínua em , mas que ela não é derivável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender de continuidade e derivabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda for igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1. Nesse caso, usamos a primeira parte da função: .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1. Aqui usamos a segunda parte da função: .

Passo 5

O valor da função em é dado pela primeira parte da definição, já que :

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em , concluímos que é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar a derivabilidade. Para a função ser derivável em , as derivadas pela esquerda e pela direita precisam ser iguais.

Passo 8

Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda usando :
Então,

Passo 9

Agora, a derivada pela direita usando :
Então,

Passo 10

As derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes ( ). Isso significa que a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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