Determinar o valor de k se a distância desde a origem até ao plano dado pela equação 3 x-6 y+k z+14=0 deve ser igual a 2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a distância da origem até o plano definido pela equação seja igual a 2. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto até um plano dado por :
No nosso caso, o ponto é a origem e o plano é . Então, vamos identificar os valores de , , e .

Passo 3

Identificando os coeficientes:
A = 3, B = -6, C = k, D = 14
Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
2 = |3 cdot 0 - 6 cdot 0 + k cdot 0 + 14|raiz3^2 + (-6)^2 + k^2
Isso simplifica para:
2 = |14|raiz9 + 36 + k^2 Rightarrow 2 = 14raiz45 + k^2

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar 2 raiz45 + k^2 = 14 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por raiz45 + k^2 = 7 :
45 + k^2 = 49
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
k^2 = 4
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
k = pm 2
Subtraímos 45 de ambos os lados:
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O valor de deve ser ou .

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