Um plano passa pelo ponto e dois ângulos directores da sua normal são e . Determinar a equação do plano.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de um plano. O enunciado nos dá um ponto que pertence ao plano, , e dois ângulos diretores da normal desse plano, e . Para resolver, vamos precisar entender como os ângulos diretores estão relacionados ao vetor normal do plano e como usar esse vetor para formular a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em geometria, os ângulos diretores de um vetor em relação aos eixos coordenados , e são os ângulos que o vetor forma com cada um desses eixos. No nosso caso, temos dois ângulos diretores da normal do plano: e .

Passo 3

Para encontrar o vetor normal do plano, usamos os ângulos diretores. As componentes do vetor normal podem ser expressas usando as funções trigonométricas cosseno dos ângulos diretores. Assim, se , , e são os ângulos com os eixos , e , respectivamente, então:
No nosso caso, temos e . Vamos supor que é o ângulo com o eixo e com o eixo . Precisamos encontrar a terceira componente, , que é o ângulo com o eixo .

Passo 4

Sabemos que os cossenos dos ângulos diretores satisfazem a relação:
Substituindo os valores de e :
Calculando:
Portanto, .

Passo 5

Agora que temos todos os ângulos diretores, podemos escrever o vetor normal:
Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 2 para eliminar os denominadores:

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto conhecido.

Passo 7

Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:

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