Um plano pi passa pelo ponto M(5,-1,3) e dois ângulos directores da sua normal são alpha=60^circ e beta=45^circ. Determinar a equação do plano.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de um plano. O enunciado nos dá um ponto que pertence ao plano, M(5,-1,3), e dois ângulos diretores da normal desse plano, alpha=60^circ e beta=45^circ. Para resolver, vamos precisar entender como os ângulos diretores estão relacionados ao vetor normal do plano e como usar esse vetor para formular a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em geometria, os ângulos diretores de um vetor em relação aos eixos coordenados x, y e z são os ângulos que o vetor forma com cada um desses eixos. No nosso caso, temos dois ângulos diretores da normal do plano: alpha=60^circ e beta=45^circ.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal n do plano, usamos os ângulos diretores. As componentes do vetor normal podem ser expressas usando as funções trigonométricas cosseno dos ângulos diretores. Assim, se thetax, thetay, e thetaz são os ângulos com os eixos x, y e z, respectivamente, então:
n = ( costhetax, costhetay, costhetaz )
No nosso caso, temos alpha=60^circ e beta=45^circ. Vamos supor que alpha é o ângulo com o eixo x e beta com o eixo y. Precisamos encontrar a terceira componente, gamma, que é o ângulo com o eixo z.

Passo 4

Sabemos que os cossenos dos ângulos diretores satisfazem a relação:
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1
Substituindo os valores de alpha e beta:
cos^2(60^circ) + cos^2(45^circ) + cos^2gamma = 1
Calculando:
(12)^2 + (raiz22)^2 + cos^2gamma = 1 14 + 12 + cos^2gamma = 1 34 + cos^2gamma = 1 cos^2gamma = 14 cosgamma = 12
Portanto, gamma = 60^circ.

Passo 5

Agora que temos todos os ângulos diretores, podemos escrever o vetor normal:
n = ( cos(60^circ), cos(45^circ), cos(60^circ) ) = ( 12, raiz22, 12 )
Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 2 para eliminar os denominadores:
n = (1, raiz2, 1)

Passo 6

Com o vetor normal n = (1, raiz2, 1) e o ponto M(5,-1,3) que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto conhecido.

Passo 7

Substituindo os valores:
1(x - 5) + raiz2(y + 1) + 1(z - 3) = 0
Simplificando:
x - 5 + raiz2y + raiz2 + z - 3 = 0 x + raiz2y + z - (5 - raiz2 + 3) = 0 x + raiz2y + z - (8 - raiz2) = 0

Resposta

A equação do plano é:
x + raiz2,y + z = 8 - raiz2

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