Um plano
passa pelo ponto
e dois ângulos directores da sua normal são
e
. Determinar a equação do plano.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de um plano. O enunciado nos dá um ponto que pertence ao plano,
, e dois ângulos diretores da normal desse plano,
e
. Para resolver, vamos precisar entender como os ângulos diretores estão relacionados ao vetor normal do plano e como usar esse vetor para formular a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em geometria, os ângulos diretores de um vetor em relação aos eixos coordenados
,
e
são os ângulos que o vetor forma com cada um desses eixos. No nosso caso, temos dois ângulos diretores da normal do plano:
e
.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal
do plano, usamos os ângulos diretores. As componentes do vetor normal podem ser expressas usando as funções trigonométricas cosseno dos ângulos diretores. Assim, se
,
, e
são os ângulos com os eixos
,
e
, respectivamente, então:
No nosso caso, temos
e
. Vamos supor que
é o ângulo com o eixo
e
com o eixo
. Precisamos encontrar a terceira componente,
, que é o ângulo com o eixo
.
Passo 4
Sabemos que os cossenos dos ângulos diretores satisfazem a relação:
Substituindo os valores de
e
:
Calculando:
Portanto,
.
Passo 5
Agora que temos todos os ângulos diretores, podemos escrever o vetor normal:
Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 2 para eliminar os denominadores:
Passo 6
Com o vetor normal
e o ponto
que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
Onde
são as componentes do vetor normal e
são as coordenadas do ponto conhecido.
Passo 7
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano é: