Determine o ângulo entre as rectas: s1:ly=-2 x+1 z=4 x e s2:lx=3-2 t y=4+t z=t

Passo 1

Então, a gente tem duas retas no espaço: e . Nosso objetivo é descobrir o ângulo entre elas. Para isso, vamos usar Geometria Analítica, especificamente trabalhando com vetores diretores das retas e a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor mostra a direção em que a reta se move.
Para a reta y = -2x + 1 z = 4x :
A equação está na forma paramétrica:
x = t y = -2t + 1 z = 4t
Podemos reescrever em termos de 1 -2 4 :
x = 3 - 2t y = 4 + t z = t
O vetor diretor de -2 1 1 é .
Para a reta :
A equação já está na forma paramétrica:
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) e , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.
  • é o ângulo entre as retas.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (1)(-2) + (-2)(1) + (4)(1) = -2 -2 +4 = 0 :

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
|u| = raiz1^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz1 + 4 + 16 = raiz21
|v| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 6

Substituindo na fórmula:
0 = raiz21 cdot raiz6 cdot cos(theta)
Como o produto é zero, isso significa que:
cos(theta) = 0
E sabemos que o cosseno de 90 graus é zero.

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

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