Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de um plano:
. A tarefa é:
- Reduzir essa equação para a forma normal.
- Determinar o comprimento e os ângulos diretores da normal desse plano.
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre a forma normal de uma equação de plano e como calcular ângulos diretores a partir da normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a forma normal de uma equação de plano. A forma normal é uma maneira de escrever a equação de um plano onde o vetor normal (que é perpendicular ao plano) tem comprimento 1. Para isso, a gente precisa dividir todos os coeficientes da equação pelo comprimento do vetor normal.
A equação geral do plano é
, onde
é o vetor normal. No nosso caso,
,
,
.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento do vetor normal. A fórmula para o comprimento de um vetor
é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos dividir todos os coeficientes da equação original pelo comprimento do vetor normal para obter a forma normal:
Simplificando:
Então, a forma normal da equação é:
Passo 5
Agora, vamos determinar os ângulos diretores da normal. Os ângulos diretores são os ângulos que o vetor normal faz com cada um dos eixos coordenados
,
e
.
A fórmula para calcular o ângulo
com o eixo
é:
E similarmente para os outros eixos.
Vamos calcular cada um:
-
Com o eixo
: -
Com o eixo
: -
Com o eixo
:
Resposta
A forma normal da equação do plano é:
O comprimento do vetor normal é
, e os ângulos diretores são:
Exercícios relacionados
Achar as coordenadas do vector normal do plano
dado por: a)
Compor as equações paramétricas do plano
que passa pelo ponto
e é paralelo aos vectores
e
.
Determinar o valor de
se a distância desde a origem até ao plano dado pela equação
deve ser igual a 2 .
Determine o ângulo entre as rectas:
e