Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: a) 8 x+4 y-z+18=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de um plano: . A tarefa é:
  1. Reduzir essa equação para a forma normal.
  2. Determinar o comprimento e os ângulos diretores da normal desse plano.
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre a forma normal de uma equação de plano e como calcular ângulos diretores a partir da normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma normal de uma equação de plano. A forma normal é uma maneira de escrever a equação de um plano onde o vetor normal (que é perpendicular ao plano) tem comprimento 1. Para isso, a gente precisa dividir todos os coeficientes da equação pelo comprimento do vetor normal.
A equação geral do plano é , onde é o vetor normal. No nosso caso, , , .

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do vetor normal. A fórmula para o comprimento de um vetor | n | = raizA^2 + B^2 + C^2 é:
| n | = raiz8^2 + 4^2 + (-1)^2 = raiz64 + 16 + 1 = raiz81 = 9
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os coeficientes da equação original pelo comprimento do vetor normal para obter a forma normal:
89x + 49y - 19z + 189 = 0
Simplificando:
89x + 49y - 19z + 2 = 0
Então, a forma normal da equação é:
89x + 49y - 19z + 2 = 0

Passo 5

Agora, vamos determinar os ângulos diretores da normal. Os ângulos diretores são os ângulos que o vetor normal faz com cada um dos eixos coordenados cos(alpha) = A| n | , cos(alpha) = 89 implies alpha = cos^-1(89) e cos(beta) = 49 implies beta = cos^-1(49) .
A fórmula para calcular o ângulo cos(gamma) = -19 implies gamma = cos^-1(-19) com o eixo é:
E similarmente para os outros eixos.
Vamos calcular cada um:
  • Com o eixo :
  • Com o eixo :
  • Com o eixo :

Resposta

A forma normal da equação do plano é:
89x + 49y - 19z + 2 = 0
O comprimento do vetor normal é alpha = cos^-1(89), beta = cos^-1(49), gamma = cos^-1(-19) , e os ângulos diretores são:

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