Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a=(2,-1, k), b=(1,0,2) e c=(k, 3, k)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores:
a = (2, -1, k), b = (1, 0, 2), c = (k, 3, k)
E queremos achar o valor de que faz esses vetores serem coplanares, ou seja, que eles estão todos no mesmo plano. Para isso, vamos usar um conceito de álgebra vetorial chamado produto triplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: vetores são coplanares se o produto escalar do vetor a cdot (b times c) = 0 com o produto vetorial entre e for igual a zero. Matematicamente, isso fica assim:
Então, nosso objetivo é calcular esse produto e resolver para .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial b times c = i & j & k 1 & 0 & 2 k & 3 & k . Para isso, usamos a regra do determinante:
b times c = i(0 cdot k - 2 cdot 3) - j(1 cdot k - 2 cdot k) + k(1 cdot 3 - 0 cdot k)
Resolvendo o determinante:
= i(0 - 6) - j(k - 2k) + k(3 - 0)
= -6i + kj + 3k
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar a cdot (b times c) = (2, -1, k) cdot (-6, k, 3) :
= 2 cdot (-6) + (-1) cdot k + k cdot 3
= -12 - k + 3k
= -12 + 2k

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o produto escalar precisa ser zero:
-12 + 2k = 0
Resolvendo para 2k = 12 :
k = 6

Resposta

O valor de que torna os vetores coplanares é 6.

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