Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores:
E queremos achar o valor de que faz esses vetores serem coplanares, ou seja, que eles estão todos no mesmo plano. Para isso, vamos usar um conceito de álgebra vetorial chamado produto triplo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar: vetores são coplanares se o produto escalar do vetor com o produto vetorial entre e for igual a zero. Matematicamente, isso fica assim:
Então, nosso objetivo é calcular esse produto e resolver para .
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Para isso, usamos a regra do determinante:
Resolvendo o determinante:
= i(0 - 6) - j(k - 2k) + k(3 - 0)
= -6i + kj + 3k
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar a cdot (b times c) = (2, -1, k) cdot (-6, k, 3) :
= 2 cdot (-6) + (-1) cdot k + k cdot 3
= -12 - k + 3k
= -12 + 2k
Passo 5
Para que os vetores sejam coplanares, o produto escalar precisa ser zero: