Escreva o vetor v in V como combinação linear na base ortonormal beta de V abaixo com o produto interno indicado: v=(4,-1,0) in R^3 com relação à base ortonormal beta=(raiz22, raiz22, 0),(raiz22,-raiz22, 0),(0,0,1), no produto interno usual do R^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear na base ortonormal de . A base é formada por três vetores: , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e produto interno, aproveitando que a base é ortonormal, o que facilita bastante nossa vida na hora de encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma combinação linear dos vetores da base v = c1 cdot beta1 + c2 cdot beta2 + c3 cdot beta3 significa que podemos escrever como:
onde são os coeficientes que precisamos encontrar, e são os vetores da base.

Passo 3

Como a base é ortonormal, podemos encontrar cada coeficiente calculando o produto interno de com o vetor . Isso porque, em uma base ortonormal, o produto interno de vetores diferentes é zero, e o produto interno de um vetor com ele mesmo é 1.

Passo 4

Vamos calcular c1 = lang<= v, beta1 rang<= = v cdot beta1 = 4 cdot raiz22 + (-1) cdot raiz22 + 0 cdot 0 = 4raiz22 - raiz22 = 3raiz22 :

Passo 5

Agora, vamos calcular c2 = lang<= v, beta2 rang<= = v cdot beta2 = 4 cdot raiz22 + (-1) cdot (-raiz22) + 0 cdot 0 = 4raiz22 + raiz22 = 5raiz22 :

Passo 6

Por fim, vamos calcular c3 = lang<= v, beta3 rang<= = v cdot beta3 = 4 cdot 0 + (-1) cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 :

Resposta

Então, o vetor v = 3raiz22 cdot beta1 + 5raiz22 cdot beta2 + 0 cdot beta3 como combinação linear na base é:

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