Escreva o vetor
como combinação linear na base ortonormal
de
abaixo com o produto interno indicado:
com relação à base ortonormal
, no produto interno usual do
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever o vetor
como uma combinação linear na base ortonormal
de
. A base
é formada por três vetores:
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e produto interno, aproveitando que a base é ortonormal, o que facilita bastante nossa vida na hora de encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma combinação linear dos vetores da base
significa que podemos escrever
como:
onde
são os coeficientes que precisamos encontrar, e
são os vetores da base.
Passo 3
Como a base
é ortonormal, podemos encontrar cada coeficiente
calculando o produto interno de
com o vetor
. Isso porque, em uma base ortonormal, o produto interno de vetores diferentes é zero, e o produto interno de um vetor com ele mesmo é 1.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular
:
Resposta
Então, o vetor
como combinação linear na base
é: