Verificar se sāo coplanares os pontos:
A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se quatro pontos no espaço são coplanares. Ou seja, se esses pontos estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra vetorial. Precisaremos calcular determinantes para verificar essa coplanaridade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quatro pontos , , e são coplanares se o determinante formado pelas coordenadas dos vetores , e for igual a zero. Esse determinante é conhecido como determinante misto.

Passo 3

Vamos começar determinando os vetores AB = B - A = (-1 - 1, 0 - 0, 3 - 2) = (-2, 0, 1) , AC = C - A = (2 - 1, 4 - 0, 1 - 2) = (1, 4, -1) e AD = D - A = (-1 - 1, -2 - 0, 2 - 2) = (-2, -2, 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B, C e D, respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos formar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante:
-2 & 0 & 1 1 & 4 & -1 -2 & -2 & 0
Para calcular esse determinante, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou optar pela regra de Sarrus para facilitar.
Determinante &= (-2) cdot 4 cdot 0 + 0 cdot (-1) cdot (-2) + 1 cdot 1 cdot (-2) & - (1 cdot 4 cdot (-2) + (-2) cdot (-1) cdot 0 + 0 cdot 1 cdot (-2)) &= 0 + 0 - 2 - (-8 + 0 + 0) &= -2 - (-8) &= -2 + 8 &= 6

Passo 5

O determinante que calculamos é 6, que é diferente de zero. Segundo a teoria que mencionamos no Passo 2, se o determinante for igual a zero, os pontos seriam coplanares. Como o resultado foi 6, isso significa que os pontos não são coplanares.

Resposta

Portanto, os pontos A, B, C e D não são coplanares.

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