Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a=(2, k, 1), b=(1,2, k) e c=(3,0,-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. Isso quer dizer que esses vetores estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar um conceito de álgebra linear chamado produto misto ou determinante. Se o determinante formado por esses vetores for zero, eles são coplanares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores. Podemos organizar os vetores como linhas ou colunas da matriz. Vou colocar como colunas para ficar mais claro:
2 & 1 & 3 k & 2 & 0 1 & k & -3

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos dá um valor que nos ajuda a entender a relação entre os vetores. Se o determinante for zero, significa que os vetores são coplanares.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det = 2(2 cdot (-3) - 0 cdot k) - 1(k cdot (-3) - 0 cdot 1) + 3(k cdot 0 - 2 cdot 1)

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. -12 + 3k - 6 = 3k - 18
Agora, somamos tudo:

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o determinante deve ser zero. Então:
3k - 18 = 0
Resolvendo para 3k = 18 k = 183 k = 6 :

Resposta

O valor de que torna os vetores coplanares é .

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