Determine se:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o span do vetor
é igual ao span do vetor
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de span, que é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares que podemos fazer com um vetor. Para resolver isso, vamos precisar verificar se um dos vetores é múltiplo escalar do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o span de um único vetor. O span de
, por exemplo, é todas as combinações desse vetor multiplicado por qualquer número real. Em outras palavras, é a linha que passa pela origem e pelo vetor
.
Passo 3
Agora, para verificar se
, precisamos ver se os dois vetores são múltiplos um do outro. Se um vetor for igual a um escalar vezes o outro, então seus spans são iguais.
Passo 4
Vamos supor que exista um número
tal que
. Isso significa que cada componente dos vetores deve satisfazer a equação:
Passo 5
Resolvendo a primeira equação
, temos
.
Passo 6
Agora, usando
na segunda equação
, temos
, o que não é verdade. Isso mostra que não existe um único valor de
que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 7
Como não conseguimos encontrar um valor de
que faz
ser um múltiplo de
, isso significa que os vetores não são múltiplos um do outro.
Resposta
Portanto,
. Os spans desses dois vetores não são iguais.