Determine se:
(e) span(2,1,2)=span(2,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o span do vetor é igual ao span do vetor . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de span, que é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares que podemos fazer com um vetor. Para resolver isso, vamos precisar verificar se um dos vetores é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o span de um único vetor. O span de , por exemplo, é todas as combinações desse vetor multiplicado por qualquer número real. Em outras palavras, é a linha que passa pela origem e pelo vetor .

Passo 3

Agora, para verificar se , precisamos ver se os dois vetores são múltiplos um do outro. Se um vetor for igual a um escalar vezes o outro, então seus spans são iguais.

Passo 4

Vamos supor que exista um número 2 = 2k, -1 = 1k, 2 = 2k tal que . Isso significa que cada componente dos vetores deve satisfazer a equação:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação , temos .

Passo 6

Agora, usando na segunda equação , temos , o que não é verdade. Isso mostra que não existe um único valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 7

Como não conseguimos encontrar um valor de que faz ser um múltiplo de , isso significa que os vetores não são múltiplos um do outro.

Resposta

Portanto, . Os spans desses dois vetores não são iguais.

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