Uma importante classe de matrizes são as denominadas idempotentes, que são as matrizes quadradas A satisfazendo A^2=A. Verifique que as matrizes A1=(ll1 & 0 0 & 0) e A2=(ccc1 & 2 & 2 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1) são idempotentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as matrizes e são idempotentes. Uma matriz é idempotente quando, ao multiplicá-la por ela mesma, o resultado é a própria matriz. Em termos matemáticos, isso significa que . Para fazer isso, vamos calcular e e ver se cada uma delas é igual à matriz original.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A1 = 1 & 0 0 & 0 :
A1^2 = A1 times A1 = 1 & 0 0 & 0 times 1 & 0 0 & 0
Para encontrar A1^2 = (1 times 1) + (0 times 0) & (1 times 0) + (0 times 0) (0 times 1) + (0 times 0) & (0 times 0) + (0 times 0) = 1 & 0 0 & 0 , multiplicamos por ela mesma:
Realizando a multiplicação das matrizes:
Perceba que , então é idempotente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz A2 = 1 & 2 & 2 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 :
A2^2 = A2 times A2 = 1 & 2 & 2 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 times 1 & 2 & 2 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1
Para encontrar (1 times 1) + (2 times 0) + (2 times 0) = 1 , multiplicamos (1 times 2) + (2 times 0) + (2 times 0) = 2 por ela mesma:
(1 times 2) + (2 times -1) + (2 times 1) = 2 - 2 + 2 = 2
Vamos calcular cada entrada de (0 times 1) + (0 times 0) + (-1 times 0) = 0 :
  • Primeira linha, primeira coluna:
(0 times 2) + (0 times 0) + (-1 times 0) = 0
  • Primeira linha, segunda coluna:
(0 times 2) + (0 times -1) + (-1 times 1) = 0 + 0 - 1 = -1
  • Primeira linha, terceira coluna:
(0 times 1) + (0 times 0) + (1 times 0) = 0
  • Segunda linha, primeira coluna:
(0 times 2) + (0 times 0) + (1 times 0) = 0
  • Segunda linha, segunda coluna:
(0 times 2) + (0 times -1) + (1 times 1) = 0 + 0 + 1 = 1
  • Segunda linha, terceira coluna:
A2^2 = 1 & 2 & 2 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1
  • Terceira linha, primeira coluna:
  • Terceira linha, segunda coluna:
  • Terceira linha, terceira coluna:
Então, temos:
Notamos que , o que confirma que também é idempotente.

Resposta

Ambas as matrizes e são idempotentes, pois satisfazem .

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