Seja V um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(b) lang<= u, v+wrang<==lang<= u, vrang<=+lang<= u, wrang<=, forall u, v, w in V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um espaço euclidiano lang<= u, v + w rang<= = lang<= u, v rang<= + lang<= u, w rang<= , para quaisquer vetores , a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso está relacionado ao conceito de produto interno (ou produto escalar) em álgebra linear. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas que o produto interno possui, especialmente a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em um espaço euclidiano, o produto interno entre dois vetores e é um número real que satisfaz algumas propriedades, como ser comutativo, bilinear e positivo definido. A propriedade que nos interessa aqui é a linearidade na segunda variável, que basicamente diz que o produto interno distribui sobre a soma de vetores.

Passo 3

Vamos focar na propriedade de linearidade na segunda variável. Isso significa que para quaisquer vetores lang<= u, a v + b w rang<= = a lang<= u, v rang<= + b lang<= u, w rang<= e escalares lang<= u, v + w rang<= = lang<= u, v rang<= + lang<= u, w rang<= , temos:
No nosso caso, os escalares e são iguais a 1, então a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa propriedade diretamente ao que foi pedido no exercício. Ao somarmos os vetores e , e então calcularmos o produto interno com , a linearidade garante que isso é o mesmo que calcular o produto interno de com cada vetor separadamente e somar os resultados.

Resposta

Então, mostramos que para quaisquer vetores , utilizando a propriedade de linearidade do produto interno no espaço euclidiano.

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