Seja
um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um espaço euclidiano
, para quaisquer vetores
, a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso está relacionado ao conceito de produto interno (ou produto escalar) em álgebra linear. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas que o produto interno possui, especialmente a linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em um espaço euclidiano, o produto interno
entre dois vetores
e
é um número real que satisfaz algumas propriedades, como ser comutativo, bilinear e positivo definido. A propriedade que nos interessa aqui é a linearidade na segunda variável, que basicamente diz que o produto interno distribui sobre a soma de vetores.
Passo 3
Vamos focar na propriedade de linearidade na segunda variável. Isso significa que para quaisquer vetores
e escalares
, temos:
No nosso caso, os escalares
e
são iguais a 1, então a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa propriedade diretamente ao que foi pedido no exercício. Ao somarmos os vetores
e
, e então calcularmos o produto interno com
, a linearidade garante que isso é o mesmo que calcular o produto interno de
com cada vetor separadamente e somar os resultados.
Resposta
Então, mostramos que
para quaisquer vetores
, utilizando a propriedade de linearidade do produto interno no espaço euclidiano.
Exercícios relacionados
Seja
a transformação
e seja
um paralelepípedo com volume 2 . O volume do paralelepípedo transformado
:
(A) é menor do que o volume de .
(B) é maior do que o volume de .
© pode ser maior ou menor do que o volume de .
(D) é igual ao volume de .
(E) Não sei
(A) é menor do que o volume de
(B) é maior do que o volume de
© pode ser maior ou menor do que o volume de
(D) é igual ao volume de
(E) Não sei
Nos problemas de 10 - 17, verificar quais subconjuntos do
são subespaços vetoriais relativos as operações usuais de soma e multiplicação por escalar:
17) e
.
17)
Seja
e consideremos
. Defina em
a seguinte aplicação
Prove que
,
.
Determinar o valor de
para que seja LI o conjunto:
.