Seja
um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um espaço euclidiano
, para quaisquer vetores
, a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso está relacionado ao conceito de produto interno (ou produto escalar) em álgebra linear. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas que o produto interno possui, especialmente a linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em um espaço euclidiano, o produto interno
entre dois vetores
e
é um número real que satisfaz algumas propriedades, como ser comutativo, bilinear e positivo definido. A propriedade que nos interessa aqui é a linearidade na segunda variável, que basicamente diz que o produto interno distribui sobre a soma de vetores.
Passo 3
Vamos focar na propriedade de linearidade na segunda variável. Isso significa que para quaisquer vetores
e escalares
, temos:
No nosso caso, os escalares
e
são iguais a 1, então a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa propriedade diretamente ao que foi pedido no exercício. Ao somarmos os vetores
e
, e então calcularmos o produto interno com
, a linearidade garante que isso é o mesmo que calcular o produto interno de
com cada vetor separadamente e somar os resultados.
Resposta
Então, mostramos que
para quaisquer vetores
, utilizando a propriedade de linearidade do produto interno no espaço euclidiano.