Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um espaço euclidiano , para quaisquer vetores , a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso está relacionado ao conceito de produto interno (ou produto escalar) em álgebra linear. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas que o produto interno possui, especialmente a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em um espaço euclidiano, o produto interno entre dois vetores e é um número real que satisfaz algumas propriedades, como ser comutativo, bilinear e positivo definido. A propriedade que nos interessa aqui é a linearidade na segunda variável, que basicamente diz que o produto interno distribui sobre a soma de vetores.

Passo 3

Vamos focar na propriedade de linearidade na segunda variável. Isso significa que para quaisquer vetores e escalares , temos:
No nosso caso, os escalares e são iguais a 1, então a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa propriedade diretamente ao que foi pedido no exercício. Ao somarmos os vetores e , e então calcularmos o produto interno com , a linearidade garante que isso é o mesmo que calcular o produto interno de com cada vetor separadamente e somar os resultados.

Resposta

Então, mostramos que para quaisquer vetores , utilizando a propriedade de linearidade do produto interno no espaço euclidiano.

Exercícios relacionados

Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 2 . O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é menor do que o volume de .
(B) é maior do que o volume de .
© pode ser maior ou menor do que o volume de .
(D) é igual ao volume de .
(E) Não sei
Nos problemas de 10 - 17, verificar quais subconjuntos do são subespaços vetoriais relativos as operações usuais de soma e multiplicação por escalar:
17) e .
Seja e consideremos . Defina em a seguinte aplicação
Prove que , é.
Determinar o valor de para que seja LI o conjunto:
.