Discuta os seguintes sistemas:

Passo 1

Então, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos discutir as soluções desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes e determinantes. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem soluções únicas, infinitas ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações de uma forma mais fácil de trabalhar. Podemos escrever as equações assim:
Observamos que aparece apenas na segunda equação, então podemos resolver essa equação isoladamente:
Isso significa que, independentemente dos valores de e , será determinado por .

Passo 3

Agora, vamos focar nas equações que envolvem e :
Queremos resolver esse sistema para e . Podemos fazer isso de duas maneiras: substituição ou eliminação. Vamos usar o método da substituição.
Da primeira equação, podemos expressar em fun��ão de :

Passo 4

Substituímos na segunda equação:
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Isolamos :
Podemos simplificar a fração:
Desde que , ou seja, .

Passo 6

Com , podemos encontrar usando :
E já tínhamos :

Passo 7

Agora, vamos considerar o caso especial quando . Se substituirmos nas equações:
Percebemos que as duas primeiras equações são iguais, o que significa que temos infinitas soluções para e , dependendo de um parâmetro livre. Nesse caso, também dependerá de .

Resposta

Para todo valor de diferente de 1, o sistema tem uma solução única: , e . Quando , o sistema possui infinitas soluções, onde e podem assumir quaisquer valores que satisfaçam e .

Exercícios relacionados

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta .
Determinar o valor de para que o sistema

tenha:
solução única
Encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos e .
Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano , concorrente com as retas e , que forma com elas ângulos congruentes.