Obtenha uma equação geral do plano pi que contém a reta r:lx-y+z+1=0 x+y-z-1=0 e é paralelo à reta s: X=(0,1,1)+lambda(1,2,2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação geral de um plano pi que:
  1. Contém a reta r: Dados pelas equações x - y + z +1=0 e x + y - z -1=0.
  2. É paralelo à reta s: Dada pela equação paramétrica X=(0,1,1)+lambda(1,2,2).
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equação de plano, reta no espaço e paralelismo entre reta e plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta r a partir do sistema de equações dado. Para isso, resolvemos o sistema:
x - y + z +1=0 x + y - z -1=0
Podemos somar as duas equações para eliminar y e z:
(x - y + z +1) + (x + y - z -1) = 0 2x = 0 Rightarrow x = 0
Agora, substituímos x = 0 em uma das equações para encontrar uma relação entre y e z:
0 + y - z -1 = 0 Rightarrow y - z =1 Rightarrow y = z +1
Então, podemos parametrizar a reta r como:
r: x = 0 y = t +1 z = t , t in R
Portanto, a direção da reta r é dada pelo vetor vr = (0,1,1).

Passo 3

Agora, observamos a reta s que é dada por X=(0,1,1)+lambda(1,2,2). Aqui, o vetor diretor de s é vs = (1,2,2).
Como o plano pi deve ser paralelo à reta s, significa que o vetor diretor de s deve estar contido no plano pi.

Passo 4

Para determinar o plano pi, precisamos de um ponto que pertença a ele e de um vetor normal n ao plano. Sabemos que a reta r está contida no plano pi, então podemos escolher um ponto de r para ser um ponto no plano. Por exemplo, quando t=0, temos o ponto P(0,1,0).
Agora, precisamos encontrar o vetor normal n. Sabemos que n é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano pi. Como a direção de r é vr = (0,1,1) e a direção de s é vs = (1,2,2), ambos vetores estão no plano pi. Portanto, n deve ser perpendicular a ambos vr e vs.

Passo 5

Para encontrar o vetor normal n, calculamos o produto vetorial entre vr e vs:
n = vr times vs = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 2 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 2) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 2 - 1 cdot 1)
Calculando cada componente:
n = i(0) - j(-1) + k(-1) = (0, 1, -1)
Então, o vetor normal ao plano pi é n = (0,1,-1).

Passo 6

Com o vetor normal n = (0,1,-1) e o ponto P(0,1,0) no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) e r0 = (0,1,0). Substituindo:
(0,1,-1) cdot (x - 0, y -1, z -0) = 0 0(x) +1(y -1) -1(z) =0 y -1 - z =0
Rearranjando, temos:
y - z =1

Resposta

A equação geral do plano pi é y - z =1.

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