Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação geral de um plano que:
  1. Contém a reta : Dados pelas equações e .
  2. É paralelo à reta : Dada pela equação paramétrica .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equação de plano, reta no espaço e paralelismo entre reta e plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta a partir do sistema de equações dado. Para isso, resolvemos o sistema:
Podemos somar as duas equações para eliminar e :
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar uma relação entre e :
Então, podemos parametrizar a reta como:
Portanto, a direção da reta é dada pelo vetor .

Passo 3

Agora, observamos a reta que é dada por . Aqui, o vetor diretor de é .
Como o plano deve ser paralelo à reta , significa que o vetor diretor de deve estar contido no plano .

Passo 4

Para determinar o plano , precisamos de um ponto que pertença a ele e de um vetor normal ao plano. Sabemos que a reta está contida no plano , então podemos escolher um ponto de para ser um ponto no plano. Por exemplo, quando , temos o ponto .
Agora, precisamos encontrar o vetor normal . Sabemos que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano . Como a direção de é e a direção de é , ambos vetores estão no plano . Portanto, deve ser perpendicular a ambos e .

Passo 5

Para encontrar o vetor normal , calculamos o produto vetorial entre e :
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
Onde e . Substituindo:
Rearranjando, temos:

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Determinar o valor de para que o sistema

tenha:
solução única
Determinar o ponto da reta que possui:
(a) abscissa 5;
(b) ordenada 2.
Discuta os seguintes sistemas:
Encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos e .