Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação geral de um plano que:
Contém a reta : Dados pelas equações e .
É paralelo à reta : Dada pela equação paramétrica .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equação de plano, reta no espaço e paralelismo entre reta e plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a reta a partir do sistema de equações dado. Para isso, resolvemos o sistema:
Podemos somar as duas equações para eliminar e :
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar uma relação entre e :
Então, podemos parametrizar a reta como:
Portanto, a direção da reta é dada pelo vetor .
Passo 3
Agora, observamos a reta que é dada por . Aqui, o vetor diretor de é .
Como o plano deve ser paralelo à reta , significa que o vetor diretor de deve estar contido no plano .
Passo 4
Para determinar o plano , precisamos de um ponto que pertença a ele e de um vetor normal ao plano. Sabemos que a reta está contida no plano , então podemos escolher um ponto de para ser um ponto no plano. Por exemplo, quando , temos o ponto .
Agora, precisamos encontrar o vetor normal . Sabemos que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano . Como a direção de é e a direção de é , ambos vetores estão no plano . Portanto, deve ser perpendicular a ambos e .
Passo 5
Para encontrar o vetor normal , calculamos o produto vetorial entre e :
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a forma: