Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação geral de um plano que:
Contém a reta : Dados pelas equações e .
É paralelo à reta : Dada pela equação paramétrica .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equação de plano, reta no espaço e paralelismo entre reta e plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a reta a partir do sistema de equações dado. Para isso, resolvemos o sistema:
Podemos somar as duas equações para eliminar e :
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar uma relação entre e :
Então, podemos parametrizar a reta como:
Portanto, a direção da reta r é dada pelo vetor vr = (0,1,1).
Passo 3
Agora, observamos a reta s que é dada por X=(0,1,1)+lambda(1,2,2). Aqui, o vetor diretor de s é vs = (1,2,2).
Como o plano pi deve ser paralelo à reta s, significa que o vetor diretor de s deve estar contido no plano pi.
Passo 4
Para determinar o plano pi, precisamos de um ponto que pertença a ele e de um vetor normal n ao plano. Sabemos que a reta r está contida no plano pi, então podemos escolher um ponto de r para ser um ponto no plano. Por exemplo, quando t=0, temos o ponto P(0,1,0).
Agora, precisamos encontrar o vetor normal n. Sabemos que n é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano pi. Como a direção de r é vr = (0,1,1) e a direção de s é vs = (1,2,2), ambos vetores estão no plano pi. Portanto, n deve ser perpendicular a ambos vr e vs.
Passo 5
Para encontrar o vetor normal n, calculamos o produto vetorial entre vr e vs:
n = vr times vs = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 2 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 2) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 2 - 1 cdot 1)
Calculando cada componente:
n = i(0) - j(-1) + k(-1) = (0, 1, -1)
Então, o vetor normal ao plano pi é n = (0,1,-1).
Passo 6
Com o vetor normal n = (0,1,-1) e o ponto P(0,1,0) no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) e r0 = (0,1,0). Substituindo:
(0,1,-1) cdot (x - 0, y -1, z -0) = 0 0(x) +1(y -1) -1(z) =0 y -1 - z =0