Determinar o valor de k para que o sistema
lx+2 y+k z=1 2 x+k y+8 z=3
tenha:
mais de uma solução

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa achar o valor de para que esse sistema tenha mais de uma solução. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações e suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
x + 2y + kz = 1 2x + ky + 8z = 3

Passo 3

Para que o sistema tenha mais de uma solução, ele precisa ser dependente, ou seja, as duas equações precisam ser múltiplos uma da outra. Isso acontece quando os coeficientes das variáveis têm a mesma proporção.

Passo 4

Vamos comparar os coeficientes das variáveis 21 = k2 = 8k , e nas duas equações:
Isso nos dá duas igualdades para resolver:

Passo 5

Vamos resolver a primeira igualdade:
21 = k2 implies 2 times 2 = k implies k = 4
Agora, vamos verificar se esse valor de 42 = 84 implies 2 = 2 também satisfaz a segunda igualdade:
Como as igualdades são verdadeiras, é a solução que deixa o sistema dependente, garantindo mais de uma solução.

Resposta

O valor de é 4.

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