Obter as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) a reta passa por e é paralela a cada um dos planos e ;
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta e paralela ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que ele pede é para encontrar as equações paramétricas de duas retas em situações específicas. Para isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas, vetores paralelos a planos e condições de ortogonalidade. Vamos por partes.
Passo 2
Parte (a)
Enunciado: Queremos a reta que passa pelo ponto e que é paralela a dois planos dados:
O que precisamos fazer: Para achar a direção da reta que é paralela a ambos os planos, precisamos encontrar um vetor que seja paralelo à interseção desses planos. Isso significa que a direção da reta é perpendicular aos vetores normais dos planos.
Passos:
Encontrar os vetores normais dos planos:
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Calcular o vetor diretor da reta (produto vetorial dos normais):
Fazendo o produto vetorial:
Escrever as equações paramétricas da reta:
Usando o ponto e o vetor diretor , as equações paramétricas ficam:Onde é o parâmetro.
Passo 3
Parte (b)
Enunciado: Queremos a reta que passa pela origem , que é ortogonal à reta , e que é paralela ao plano .
O que precisamos fazer: Precisamos encontrar o vetor diretor da reta que satisfaz duas condições:
Ortogonal à reta : O vetor diretor da nossa reta deve ser perpendicular ao vetor diretor de .
Paralela ao plano : O vetor diretor da nossa reta deve estar no plano , ou seja, ser perpendicular ao vetor normal do plano.
Passos:
Encontrar o vetor diretor da reta :
A equação dada é . Podemos parametrizar:Então, o vetor diretor é .
Encontrar o vetor normal do plano :
A equação do plano é , então o vetor normal é .
Definir o vetor diretor da nossa reta ():
Como a reta deve ser ortogonal a :
E como a reta deve ser paralela ao plano , o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal:
Temos então um sistema de equações:
Para simplificar, vamos multiplicar a primeira equação por 6 para eliminar as frações:
E reescrever a segunda equação:
Agora, resolvemos o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Podemos escolher um valor para , por exemplo, , então:
Então,
Portanto, o vetor diretor é .
Escrever as equações paramétricas da reta:
Como a reta passa pela origem e tem vetor diretor , as equações paramétricas ficam:Onde é o parâmetro.