Obter as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) a reta passa por e é paralela a cada um dos planos e ;
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta e paralela ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que ele pede é para encontrar as equações paramétricas de duas retas em situações específicas. Para isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas, vetores paralelos a planos e condições de ortogonalidade. Vamos por partes.
Passo 2
Parte (a)
Enunciado: Queremos a reta que passa pelo ponto e que é paralela a dois planos dados:
O que precisamos fazer: Para achar a direção da reta que é paralela a ambos os planos, precisamos encontrar um vetor que seja paralelo à interseção desses planos. Isso significa que a direção da reta é perpendicular aos vetores normais dos planos.
Passos:
Encontrar os vetores normais dos planos:
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Calcular o vetor diretor da reta (produto vetorial dos normais):
Podemos escolher um valor para dz, por exemplo, dz = 9, então: 9dy + 5(9) = 0 Rightarrow 9dy = -45 Rightarrow dy = -5
Então, dx = dy + dz = -5 + 9 = 4
Portanto, o vetor diretor é d = (4, -5, 9).
Escrever as equações paramétricas da reta:
Como a reta passa pela origem (0,0,0) e tem vetor diretor d = (4, -5, 9), as equações paramétricas ficam: x = 0 + 4t y = 0 - 5t z = 0 + 9t Onde t é o parâmetro.