Obter as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) a reta passa por A(-1,0,2) e é paralela a cada um dos planos pi1: 2 x+y+z+1=0 e pi2: x-3 y-z-5=0;
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta r: 2 x=y=3 z e paralela ao plano pi: x-y-z+2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que ele pede é para encontrar as equações paramétricas de duas retas em situações específicas. Para isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas, vetores paralelos a planos e condições de ortogonalidade. Vamos por partes.

Passo 2

Parte (a)

Enunciado: Queremos a reta que passa pelo ponto A(-1,0,2) e que é paralela a dois planos dados:
  • pi1: 2x + y + z + 1 = 0
  • pi2: x - 3y - z - 5 = 0
O que precisamos fazer: Para achar a direção da reta que é paralela a ambos os planos, precisamos encontrar um vetor que seja paralelo à interseção desses planos. Isso significa que a direção da reta é perpendicular aos vetores normais dos planos.
Passos:
  1. Encontrar os vetores normais dos planos:
    • Para pi1, o vetor normal é n1 = (2, 1, 1).
    • Para pi2, o vetor normal é n2 = (1, -3, -1).
  2. Calcular o vetor diretor da reta (produto vetorial dos normais):
    • d = n1 times n2
    • Fazendo o produto vetorial: d = i & j & k 2 & 1 & 1 1 & -3 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot (-3)) - j(2 cdot (-1) - 1 cdot 1) + k(2 cdot (-3) - 1 cdot 1) d = i( -1 + 3 ) - j( -2 -1 ) + k( -6 -1 ) = (2, 3, -7)
  3. Escrever as equações paramétricas da reta:
    • Usando o ponto A(-1, 0, 2) e o vetor diretor d = (2, 3, -7), as equações paramétricas ficam: x = -1 + 2t y = 0 + 3t z = 2 - 7t Onde t é o parâmetro.

Passo 3

Parte (b)

Enunciado: Queremos a reta que passa pela origem (0,0,0), que é ortogonal à reta r: 2x = y = 3z, e que é paralela ao plano pi: x - y - z + 2 = 0.
O que precisamos fazer: Precisamos encontrar o vetor diretor da reta que satisfaz duas condições:
  1. Ortogonal à reta r: O vetor diretor da nossa reta deve ser perpendicular ao vetor diretor de r.
  2. Paralela ao plano pi: O vetor diretor da nossa reta deve estar no plano pi, ou seja, ser perpendicular ao vetor normal do plano.
Passos:
  1. Encontrar o vetor diretor da reta r:
    • A equação dada é 2x = y = 3z. Podemos parametrizar: x = t2, y = t, z = t3 Então, o vetor diretor é vr = (12, 1, 13).
  2. Encontrar o vetor normal do plano pi:
    • A equação do plano é x - y - z + 2 = 0, então o vetor normal é n = (1, -1, -1).
  3. Definir o vetor diretor da nossa reta ( d):
    • Como a reta deve ser ortogonal a r: d cdot vr = 0 Rightarrow 12dx + dy + 13dz = 0
    • E como a reta deve ser paralela ao plano pi, o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal: d cdot n = 0 Rightarrow dx - dy - dz = 0
    • Temos então um sistema de equações: 12dx + dy + 13dz = 0 dx - dy - dz = 0
    • Para simplificar, vamos multiplicar a primeira equação por 6 para eliminar as frações: 3dx + 6dy + 2dz = 0
    • E reescrever a segunda equação: dx - dy - dz = 0
    • Agora, resolvemos o sistema:
      • Da segunda equação: dx = dy + dz
      • Substituindo na primeira: 3(dy + dz) + 6dy + 2dz = 0 Rightarrow 3dy + 3dz + 6dy + 2dz = 0 Rightarrow 9dy + 5dz = 0
      • Podemos escolher um valor para dz, por exemplo, dz = 9, então: 9dy + 5(9) = 0 Rightarrow 9dy = -45 Rightarrow dy = -5
      • Então, dx = dy + dz = -5 + 9 = 4
    • Portanto, o vetor diretor é d = (4, -5, 9).
  4. Escrever as equações paramétricas da reta:
    • Como a reta passa pela origem (0,0,0) e tem vetor diretor d = (4, -5, 9), as equações paramétricas ficam: x = 0 + 4t y = 0 - 5t z = 0 + 9t Onde t é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas das retas são:
(a)
x = -1 + 2t y = 0 + 3t z = 2 - 7t
(b)
x = 4t y = -5t z = 9t
Onde t é um parâmetro real.

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