Obter as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) a reta passa por e é paralela a cada um dos planos e ;
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta e paralela ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que ele pede é para encontrar as equações paramétricas de duas retas em situações específicas. Para isso, vamos precisar saber sobre equações paramétricas de retas, vetores paralelos a planos e condições de ortogonalidade. Vamos por partes.

Passo 2

Parte (a)

Enunciado: Queremos a reta que passa pelo ponto e que é paralela a dois planos dados:
O que precisamos fazer: Para achar a direção da reta que é paralela a ambos os planos, precisamos encontrar um vetor que seja paralelo à interseção desses planos. Isso significa que a direção da reta é perpendicular aos vetores normais dos planos.
Passos:
  1. Encontrar os vetores normais dos planos:
    • Para , o vetor normal é .
    • Para , o vetor normal é .
  2. Calcular o vetor diretor da reta (produto vetorial dos normais):
    • Fazendo o produto vetorial:
  3. Escrever as equações paramétricas da reta:
    • Usando o ponto e o vetor diretor , as equações paramétricas ficam: Onde é o parâmetro.

Passo 3

Parte (b)

Enunciado: Queremos a reta que passa pela origem , que é ortogonal à reta , e que é paralela ao plano .
O que precisamos fazer: Precisamos encontrar o vetor diretor da reta que satisfaz duas condições:
  1. Ortogonal à reta : O vetor diretor da nossa reta deve ser perpendicular ao vetor diretor de .
  2. Paralela ao plano : O vetor diretor da nossa reta deve estar no plano , ou seja, ser perpendicular ao vetor normal do plano.
Passos:
  1. Encontrar o vetor diretor da reta :
    • A equação dada é . Podemos parametrizar: Então, o vetor diretor é .
  2. Encontrar o vetor normal do plano :
    • A equação do plano é , então o vetor normal é .
  3. Definir o vetor diretor da nossa reta ( ):
    • Como a reta deve ser ortogonal a :
    • E como a reta deve ser paralela ao plano , o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal:
    • Temos então um sistema de equações:
    • Para simplificar, vamos multiplicar a primeira equação por 6 para eliminar as frações:
    • E reescrever a segunda equação:
    • Agora, resolvemos o sistema:
      • Da segunda equação:
      • Substituindo na primeira:
      • Podemos escolher um valor para , por exemplo, , então:
      • Então,
    • Portanto, o vetor diretor é .
  4. Escrever as equações paramétricas da reta:
    • Como a reta passa pela origem e tem vetor diretor , as equações paramétricas ficam: Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas das retas são:
(a)
(b)
Onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados

Determine de modo que o sistema linear seja indeterminado:
Representar graficamente os planos de equações:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) ;
(f) ;
(g) ;
(h) .
Determinar o valor de para que o sistema

tenha:
mais de uma solução
Determinar o valor de para que seja de a medida do ângulo entre as retas e nos seguintes casos:
(a) e ;
(b) e : eixo .