Determinar o valor de m para o qual a reta lx=2+3 z y=m z+1 é paralela ao plano 2 x+3 y+6 z+2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de que faz com que a reta , definida pelas equações e , seja paralela ao plano dado por . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de vetor diretor da reta e vetor normal do plano. Vamos usar álgebra vetorial para descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta x = 2 + 3z e y = mz + 1 . Nas equações paramétricas da reta, os coeficientes de d = 3 m 1 nos dão o vetor diretor. Então, olhando para:
O vetor diretor é:

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do plano 2x + 3y + 6z + 2 = 0 . A equação geral do plano é dada por:
n = 2 3 6
O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e :

Passo 4

Para que a reta d cdot n = 3 cdot 2 + m cdot 3 + 1 cdot 6 = 0 seja paralela ao plano , o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar:

Passo 5

Resolvendo a equação do produto escalar:
6 + 3m + 6 = 0
Juntando os termos constantes:
3m + 12 = 0

Passo 6

Isolando 3m = -12 m = -123 m = -4 :

Resposta

O valor de que faz com que a reta seja paralela ao plano é .

Exercícios relacionados

Identifique se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique: |u|>0 Leftrightarrow u neq-u.
Identifique se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique: u=-v Rightarrow v=-u
Sistemas lineares com uma só equação podem ter infinitas soluções?
Suponha que eu tenha 3 caixas de cores diferentes, azul, amarelo e vermelho. Além disso eu tenho 10 bolas indistinguíveis (elas podem ser todas brancas e do mesmo tamanho, por exemplo). De quantas formas distintas eu posso distribuir as bolas entre as 3 caixas, de forma que cada caixa tenha pelo menos uma bola? (DICA: alinhe as 10 bolas e marque nos espaços entre elas 2 linhas indicando a separação entre as caixas, por exemplo, se eu tivesse 6 bolas bul<=t bul<=t|bul<=t| bul<=t bul<=t bul<=t, significaria 2 bolas na caixa azul, 1 na amarela e 3 na vermelha)