Determinar o valor de para o qual a reta é paralela ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de que faz com que a reta , definida pelas equações e , seja paralela ao plano dado por . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de vetor diretor da reta e vetor normal do plano. Vamos usar álgebra vetorial para descobrir o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . Nas equações paramétricas da reta, os coeficientes de nos dão o vetor diretor. Então, olhando para:
O vetor diretor é:
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal do plano 2x + 3y + 6z + 2 = 0 . A equação geral do plano é dada por:
n = 2 3 6
O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e :
Passo 4
Para que a reta d cdot n = 3 cdot 2 + m cdot 3 + 1 cdot 6 = 0 seja paralela ao plano , o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar:
Passo 5
Resolvendo a equação do produto escalar:
6 + 3m + 6 = 0
Juntando os termos constantes:
3m + 12 = 0
Passo 6
Isolando 3m = -12 m = -123 m = -4 :
Resposta
O valor de que faz com que a reta seja paralela ao plano é .