Suponha que eu tenha 3 caixas de cores diferentes, azul, amarelo e vermelho. Além disso eu tenho 10 bolas indistinguíveis (elas podem ser todas brancas e do mesmo tamanho, por exemplo). De quantas formas distintas eu posso distribuir as bolas entre as 3 caixas, de forma que cada caixa tenha pelo menos uma bola? (DICA: alinhe as 10 bolas e marque nos espaços entre elas 2 linhas indicando a separação entre as caixas, por exemplo, se eu tivesse 6 bolas
, significaria 2 bolas na caixa azul, 1 na amarela e 3 na vermelha)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz que temos 3 caixas de cores diferentes (azul, amarelo e vermelho) e 10 bolas que são todas iguais. Queremos saber de quantas maneiras podemos distribuir essas bolas entre as caixas, garantindo que cada caixa receba pelo menos uma bola. Para resolver isso, vamos usar um conceito de combinatória, especificamente sobre divisão de itens idênticos em grupos distintos.
Passo 2
Primeiro, como as bolas são indistinguíveis e as caixas são distintas (por causa das cores), a ordem das bolas dentro das caixas não importa, mas qual caixa recebe quantas bolas sim importa.
Como cada caixa deve ter pelo menos uma bola, podemos pensar que primeiro colocamos uma bola em cada caixa. Assim, já usamos 3 bolas (uma para cada caixa), restando 7 bolas para distribuir livremente entre as 3 caixas.
Passo 3
Agora, precisamos distribuir essas 7 bolas restantes nas 3 caixas, sem restrições (pois cada caixa já tem pelo menos uma bola). Isso é um problema clássico de combinação com repetição.
A fórmula para isso é:
onde:
-
é o número de itens a distribuir (no caso, 7 bolas), -
é o número de grupos (no caso, 3 caixas).
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de
:
Resposta
Existem 36 formas diferentes de distribuir as 10 bolas entre as 3 caixas, garantindo que cada caixa receba pelo menos uma bola.