Para matriz dada determine todos os valores possíveis para , de acordo com os valores do parâmetro a. .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A = 3 & 6 & 3a 1 & -2a & -1 a & -2 & 1 que depende de um parâmetro :
Queremos determinar todos os valores possíveis para , que se refere ao polinômio característico da matriz , de acordo com os diferentes valores do parâmetro . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico , que é dado pelo determinante , onde é a matriz identidade e é uma variável escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz A - lambda I = 3 - lambda & 6 & 3a 1 & -2a - lambda & -1 a & -2 & 1 - lambda :
Passo 3
O polinômio característico pA(lambda) = det(A - lambda I) é calculado como o determinante da matriz :
Vamos calcular esse determinante passo a passo.
Passo 4
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos optar pela expansão pela primeira linha:
pA(lambda) = (3 - lambda) cdot det -2a - lambda & -1 -2 & 1 - lambda - 6 cdot det 1 & -1 a & 1 - lambda + 3a cdot det 1 & -2a - lambda a & -2
Passo 5
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Todos os valores possíveis para o polinômio característico pA(lambda) = -lambda^3 + (4 - 2a)lambda^2 + (3a^2 + 8a + 5)lambda + (6a^3 - 18a - 12) da matriz em função do parâmetro são: