Para matriz A dada determine todos os valores possíveis para pA, de acordo com os valores do parâmetro a. A=[ccc3 & 6 & 3 a 1 & -2 a & -1 a & -2 & 1].

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A = 3 & 6 & 3a 1 & -2a & -1 a & -2 & 1 que depende de um parâmetro :
Queremos determinar todos os valores possíveis para , que se refere ao polinômio característico da matriz , de acordo com os diferentes valores do parâmetro . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico , que é dado pelo determinante , onde é a matriz identidade e é uma variável escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A - lambda I = 3 - lambda & 6 & 3a 1 & -2a - lambda & -1 a & -2 & 1 - lambda :

Passo 3

O polinômio característico pA(lambda) = det(A - lambda I) é calculado como o determinante da matriz :
Vamos calcular esse determinante passo a passo.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos optar pela expansão pela primeira linha:
pA(lambda) = (3 - lambda) cdot det -2a - lambda & -1 -2 & 1 - lambda - 6 cdot det 1 & -1 a & 1 - lambda + 3a cdot det 1 & -2a - lambda a & -2

Passo 5

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro determinante:
det -2a - lambda & -1 -2 & 1 - lambda = (-2a - lambda)(1 - lambda) - (-1)(-2) = (-2a - lambda)(1 - lambda) - 2
  1. Segundo determinante:
det 1 & -1 a & 1 - lambda = 1(1 - lambda) - (-1)(a) = 1 - lambda + a = a + (1 - lambda)
  1. Terceiro determinante:
det 1 & -2a - lambda a & -2 = 1(-2) - (-2a - lambda)(a) = -2 + 2a^2 + alambda - 2 = -2 + 2a^2 + alambda

Passo 6

Substituindo os determinantes calculados na expressão do polinômio característico:
pA(lambda) = (3 - lambda)[(-2a - lambda)(1 - lambda) - 2] - 6[a + (1 - lambda)] + 3a[-2 + 2a^2 + alambda]
Vamos simplificar cada parte:
  1. Simplificando o primeiro termo:
(-2a - lambda)(1 - lambda) = -2a(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) = -2a + 2alambda - lambda + lambda^2
(-2a - lambda)(1 - lambda) - 2 = -2a + 2alambda - lambda + lambda^2 - 2
Multiplicando por (3 - lambda)(-2a + 2alambda - lambda + lambda^2 - 2) :
-6[a + (1 - lambda)] = -6a -6 + 6lambda
  1. Simplificando o segundo termo:
3a[-2 + 2a^2 + alambda] = -6a + 6a^3 + 3a^2lambda
  1. Simplificando o terceiro termo:

Passo 7

Agora, juntando todas as partes:
pA(lambda) = (-6a +8alambda -lambda +4lambda^2 -2alambda^2 -6 -lambda^3) -6a -6 +6lambda + (-6a +6a^3 +3a^2lambda)
Simplificando os termos semelhantes:
pA(lambda) = -lambda^3 + (4 - 2a)lambda^2 + (3a^2 + 8a + 5)lambda + (6a^3 - 18a - 12)

Resposta

Todos os valores possíveis para o polinômio característico pA(lambda) = -lambda^3 + (4 - 2a)lambda^2 + (3a^2 + 8a + 5)lambda + (6a^3 - 18a - 12) da matriz em função do parâmetro são:

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