Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
d) lim (x, y) (0,0) x^2 sen yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x^2 sen yx. Isso envolve cálculo de limites em funções de duas variáveis. Vamos precisar usar a propriedade que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, e também entender como o comportamento de x^2 influencia o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno tem a propriedade que para qualquer real z, temos:
-1 <= sen(z) <= 1
Nesse caso, z = yx, então:
-1 <= sen(yx) <= 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por x^2. Como x^2 é sempre não negativo, a desigualdade continua válida:
- x^2 <= x^2 sen(yx) <= x^2

Passo 4

Sabemos que lim(x,y) to (0,0) x^2 = 0. Então, aplicando o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperta) que diz que se f(x,y) <= g(x,y) <= h(x,y) e lim(x,y) to (0,0) f(x,y) = lim(x,y) to (0,0) h(x,y) = L, então lim(x,y) to (0,0) g(x,y) = L, temos:
lim(x,y) to (0,0) -x^2 = 0 e lim(x,y) to (0,0) x^2 = 0
Portanto,
lim (x, y) (0,0) x^2 sen yx = 0

Resposta

0

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