Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
h) lim (x, y) (0,0)(1+y^2) sen xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o valor do limite de quando se aproxima de . Vamos precisar usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e propriedades dos limites de funções elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos dois fatores multiplicativos:
Vamos ver o que acontece com cada um deles quando .

Passo 3

Para o primeiro fator, limy to 0 (1 + y^2) = 1 + 0 = 1 , quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então:

Passo 4

Agora, para o segundo fator, , sabemos que existe um limite muito conhecido:
Isso é uma regra básica de limites envolvendo a função seno.

Passo 5

Como temos a multiplicação de duas funções, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites (desde que ambos existam). Ou seja:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
d) lim (x, y) (0,0) x^2 sen yx
a) lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
k) lim (x, y) (0,0)(x^3+2 x^2 y-y^2+2)
Seja f(x, y) = x^2 + 2xy.
© Faça um esboço do gráfico de f.