Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
o) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2|x^3|+|y^3|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , indo para zero. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Multivariável, especificamente o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão do limite:
lim(x, y) (0,0) x^2 y^2|x^3| + |y^3|
Nosso objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 3

Uma maneira de analisar limites de funções de duas variáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a . Se todos os caminhos derem o mesmo resultado, é provável que o limite exista e seja igual a esse valor.

Passo 4

Vamos considerar um caminho simples: x^2 (k x)^2|x^3| + |k x|^3 = k^2 x^4|x|^3 + |k|^3 |x|^3 = k^2 x^4(1 + |k|^3) |x|^3 = k^2 x1 + |k|^3 , onde é uma constante. Substituindo isso na função, temos:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 5

Além disso, podemos notar que tanto no numerador quanto no denominador são sempre positivos ou zero. Isso nos permite afirmar que a expressão inteira é sempre não negativa.

Passo 6

Outra abordagem é comparar os termos. Observamos que:
|x^3| + |y^3| >= |x^3|
Portanto:
x^2 y^2|x^3| + |y^3| <= x^2 y^2|x^3| = y^2|x|
Como e estão se aproximando de 0, também tende a 0.

Passo 7

Com essas análises, vemos que independentemente do caminho que toma para chegar a , o limite da função sempre tende a 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados

Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
g) lim (x, y) (0,0) 1+x-yx^2+y^2
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
c) f(x, y, z) = x^2 + y^2, c = 1
Determine o domínio de f e faça seu esboço nos seguintes casos:
a) f(x, y) = x * y / (x - 2 * y)
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
f) f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2)