Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
o)
o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, indo para zero. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Multivariável, especificamente o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão do limite:
Nosso objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor.
Passo 3
Uma maneira de analisar limites de funções de duas variáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a
. Se todos os caminhos derem o mesmo resultado, é provável que o limite exista e seja igual a esse valor.
Passo 4
Vamos considerar um caminho simples:
, onde
é uma constante. Substituindo isso na função, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Passo 5
Além disso, podemos notar que tanto
no numerador quanto
no denominador são sempre positivos ou zero. Isso nos permite afirmar que a expressão inteira é sempre não negativa.
Passo 6
Outra abordagem é comparar os termos. Observamos que:
Portanto:
Como
e
estão se aproximando de 0,
também tende a 0.
Passo 7
Com essas análises, vemos que independentemente do caminho que
toma para chegar a
, o limite da função sempre tende a 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
g)
g)
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
c)
c)
Determine o domínio de
e faça seu esboço nos seguintes casos:
a)
a)
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
f)
f)