Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio máximo de definição da função
e fazer um esboço das curvas de nível dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções de duas variáveis e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, porque dividir por zero não é permitido.
Passo 3
Então, vamos resolver a inequação:
A única maneira de
acontecer é se
e
. Portanto, o domínio será todo o plano menos o ponto
.
Passo 4
Agora, vamos para as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas onde a função assume valores constantes. Vamos chamar essa constante de
, então temos:
Substituindo a função:
Para achar as curvas de nível, resolvemos para
:
Isso é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
.
Passo 5
Vamos resumir o que encontramos:
- O domínio da função é todo o plano
menos o ponto . - As curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem, com raios que dependem do valor de
.
Resposta
O domínio máximo de definição da função
é todo o plano
exceto o ponto
. As curvas de nível são círculos de raio
centrados na origem.
Exercícios relacionados
Determine o domínio de
e faça seu esboço nos seguintes casos:
a)
a)
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
o)
o)
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
b)
b)
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
f)
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