Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
f) f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio máximo de definição da função e fazer um esboço das curvas de nível dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções de duas variáveis e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No nosso caso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não é permitido.

Passo 3

Então, vamos resolver a inequação:
A única maneira de acontecer é se e . Portanto, o domínio será todo o plano menos o ponto .

Passo 4

Agora, vamos para as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas onde a função assume valores constantes. Vamos chamar essa constante de , então temos:
Substituindo a função:
Para achar as curvas de nível, resolvemos para :
Isso é a equação de um círculo com raio e centro na origem .

Passo 5

Vamos resumir o que encontramos:
  • O domínio da função é todo o plano menos o ponto .
  • As curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem, com raios que dependem do valor de .

Resposta

O domínio máximo de definição da função é todo o plano exceto o ponto . As curvas de nível são círculos de raio centrados na origem.

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Determine o domínio de f e faça seu esboço nos seguintes casos:
a) f(x, y) = x * y / (x - 2 * y)
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
o) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2|x^3|+|y^3|
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
b) f(x, y, z) = y, c = 1
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
f) f(x, y, z) = raiz(x^2 + (y^2 / 4) + (z^2 / 9)), c = 0, 1, 2