Seja f(x, y) = x^2 + 2xy.
(a) Encontre as curvas de nível c da função f, para c=0 e c != 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as curvas de nível da função para e . As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Para isso, vamos igualar a função a e resolver para em termos de .

Passo 2

Primeiro, consideramos o caso onde . Igualamos a função a zero:
Podemos fatorar essa equação para facilitar a resolução.

Passo 3

Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Resolvendo para na segunda equação:

Passo 4

Agora, consideramos o caso onde . Igualamos a função a :
Precisamos isolar para encontrar a expressão da curva de nível.

Passo 5

Isolando :
Simplificando:
Essa é a equação da curva de nível para .

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para :
  • Para :

Exercícios relacionados

Descreva o domínio máximo possivel da função z = f(x, y) dada por:
(d) z² + 4 = x² + y², z ≥ 0
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
f) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
a) f(x, y) = x - y
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
g) f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2), c = -1, 0, 2