Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
c) lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2. Esse problema está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe ao aproximarmos o ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos aproximar (x, y) de (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, fixamos y = 0. Substituindo na função:
xx^2+0^2 = xx^2 = 1x
Agora, analisamos o comportamento de 1x quando x se aproxima de 0:
  • Se x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+), 1x to +infty.
  • Se x se aproxima de 0 pela esquerda ( x to 0^-), 1x to -infty.
Isso mostra que o limite tende a infinito ou menos infinito dependendo da direção de aproximação.

Passo 3

Agora, vamos aproximar (x, y) de (0,0) ao longo do eixo y, isto é, fixamos x = 0. Substituindo na função:
00^2+y^2 = 0y^2 = 0
Aqui, independente de como y se aproxima de 0, o limite da função é 0.

Passo 4

Como obtivemos resultados diferentes ao aproximar pelo eixo x e pelo eixo y, isso indica que o limite depende do caminho de aproximação. Portanto, o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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