Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
f) f(x, y, z) = raiz(x^2 + (y^2 / 4) + (z^2 / 9)), c = 0, 1, 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para fazermos um esboço das superfícies de nível da função nos níveis . Aqui, estamos trabalhando com superfícies de nível, que são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos entender como essas superfícies se comportam geométricamente para cada valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação das superfícies de nível. Sabemos que para uma superfície de nível , temos:
Substituindo a função dada:

Passo 3

Para simplificar, vamos retirar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Essa equação é a da elipsoide, uma superfície tridimensional que se parece com uma esfera alongada ou achatada. Os coeficientes de , e determinam os semi-eixos da elipsoide:
  • para o eixo
  • para o eixo (pois )
  • para o eixo (pois )

Passo 5

Agora, vamos analisar cada valor de :
  1. Para :
    A única solução que satisfaz essa equação é , , . Portanto, para , a superfície de nível é apenas um ponto no origen.
  2. Para :
    Essa é uma elipsoide com semi-eixos de comprimento , e . Ela está centrada na origem e se estende mais ao longo do eixo .
  3. Para :
    Aqui, a elipsoide tem semi-eixos , e . É uma versão ampliada da elipsoide para , mantendo a mesma proporção entre os eixos.

Resposta

As superfícies de nível da função são:
  • Para : um ponto na origem .
  • Para : uma elipsoide centrada na origem com semi-eixos de comprimento 1, 2 e 3.
  • Para : uma elipsoide centrada na origem com semi-eixos de comprimento 2, 4 e 6.

Exercícios relacionados

Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
b) f(x, y, z) = y, c = 1
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
f) f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2)
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
c) lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2
Determine o domínio de f e faça seu esboço nos seguintes casos:
b) f(u, v) = raiz(1 - u) - e^(u / v)