Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
f)
f)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para fazermos um esboço das superfícies de nível da função
nos níveis
. Aqui, estamos trabalhando com superfícies de nível, que são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos entender como essas superfícies se comportam geométricamente para cada valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação das superfícies de nível. Sabemos que para uma superfície de nível
, temos:
Substituindo a função dada:
Passo 3
Para simplificar, vamos retirar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Essa equação é a da elipsoide, uma superfície tridimensional que se parece com uma esfera alongada ou achatada. Os coeficientes de
,
e
determinam os semi-eixos da elipsoide:
-
para o eixo -
para o eixo (pois ) -
para o eixo (pois )
Passo 5
Agora, vamos analisar cada valor de
:
-
Para
: A única solução que satisfaz essa equação é, , . Portanto, para , a superfície de nível é apenas um ponto no origen. -
Para
: Essa é uma elipsoide com semi-eixos de comprimento, e . Ela está centrada na origem e se estende mais ao longo do eixo . -
Para
: Aqui, a elipsoide tem semi-eixos, e . É uma versão ampliada da elipsoide para , mantendo a mesma proporção entre os eixos.
Resposta
As superfícies de nível da função
são:
- Para
: um ponto na origem . - Para
: uma elipsoide centrada na origem com semi-eixos de comprimento 1, 2 e 3. - Para
: uma elipsoide centrada na origem com semi-eixos de comprimento 2, 4 e 6.
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b)
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f)
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c)
c)
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b)
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