Determine o domínio de f e faça seu esboço nos seguintes casos:
b) f(u, v) = raiz(1 - u) - e^(u / v)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente tem a função e precisa descobrir o domínio dessa função e fazer um esboço dela. Isso envolve entender onde a função tá bem definida, ou seja, para quais valores de e ela não dá erro. Vamos precisar lembrar um pouco sobre raízes quadradas e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da raiz quadrada: . A raiz quadrada só é definida para números não negativos. Isso significa que o que está dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero.
Então, temos:
Isso nos diz que tem que ser no máximo 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte exponencial: . A função exponencial está definida para todo número real . Porém, aqui temos , e a divisão por zero não é permitida. Então, para essa parte da função ser válida, não pode ser zero.
Portanto:

Passo 4

Juntando as duas condições que encontramos:
Essas são as restrições que definem o domínio da função . Ou seja, a função está definida para todos os pares onde é menor ou igual a 1 e não é zero.

Passo 5

Agora, vamos pensar no esboço gráfico dessa função no plano :
  • Limite para : Tudo do lado esquerdo da reta , incluindo a própria reta.
  • Exclusão de : A linha onde (eixo ) não está incluída. Então, vamos desenhar uma linha pontilhada ou algum indicativo para mostrar que não pode ser zero.
Assim, o domínio será uma região no plano onde está à esquerda de 1 e o eixo está incluído, mas sem a linha onde .

Resposta

O domínio da função é todos os pares tais que e . O esboço mostra a região à esquerda da reta no plano , excluindo a linha onde .

Exercícios relacionados

Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
c) lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
f) f(x, y, z) = raiz(x^2 + (y^2 / 4) + (z^2 / 9)), c = 0, 1, 2
Descreva o domínio máximo possivel da função z = f(x, y) dada por:
(b) z = (x - y) / raiz(1 - x^2 - y^2)
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
b) f(x, y) = e^x / (2 y)