Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é o domínio máximo de definição da função
e também fazer um esboço das curvas de nível dessa função. Para isso, vamos precisar entender sobre domínio de funções de duas variáveis e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função de duas variáveis. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá erro matemático, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
No caso da função
, não temos nenhuma operação que restrinja os valores de
e
. Multiplicar dois números reais sempre dá um resultado válido. Portanto, o domínio dessa função inclui todos os números reais para
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as curvas de nível. As curvas de nível são linhas no plano
onde a função assume um valor constante. Para encontrar as curvas de nível da função
, a gente define
, onde
é uma constante.
Então, temos:
Isso significa que para cada valor de
, a equação
descreve uma curva no plano
.
Passo 4
Vamos analisar a equação
:
- Se
, a curva será uma hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes. - Se
, a hipérbole estará no segundo e quarto quadrantes. - Se
, a curva corresponde aos eixos e , já que significa que pelo menos um dos valores ou é zero.
Então, as curvas de nível da função
são hipérboles que mudam de posição dependendo do valor de
.
Resposta
O domínio máximo de definição da função
é todo o plano real
, ou seja, todos os pares
com
e
reais. As curvas de nível dessa função são hipérboles definidas pela equação
, onde
é uma constante real. Para cada valor de
, a curva resultante está nos quadrantes de acordo com o sinal de
:
-
: hipérbole nos primeiros e terceiros quadrantes. -
: hipérbole nos segundo e quarto quadrantes. -
: as curvas são os próprios eixos e .
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d)
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, isto é, qual é o conjunto
?
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a)
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