Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
l) f(x, y) = x * y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é o domínio máximo de definição da função e também fazer um esboço das curvas de nível dessa função. Para isso, vamos precisar entender sobre domínio de funções de duas variáveis e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função de duas variáveis. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá erro matemático, como divisão por zero ou raiz de número negativo.
No caso da função , não temos nenhuma operação que restrinja os valores de e . Multiplicar dois números reais sempre dá um resultado válido. Portanto, o domínio dessa função inclui todos os números reais para e .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as curvas de nível. As curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Para encontrar as curvas de nível da função , a gente define , onde é uma constante.
Então, temos:
Isso significa que para cada valor de , a equação descreve uma curva no plano .

Passo 4

Vamos analisar a equação :
  • Se , a curva será uma hipérbole no primeiro e terceiro quadrantes.
  • Se , a hipérbole estará no segundo e quarto quadrantes.
  • Se , a curva corresponde aos eixos e , já que significa que pelo menos um dos valores ou é zero.
Então, as curvas de nível da função são hipérboles que mudam de posição dependendo do valor de .

Resposta

O domínio máximo de definição da função é todo o plano real , ou seja, todos os pares com e reais. As curvas de nível dessa função são hipérboles definidas pela equação , onde é uma constante real. Para cada valor de , a curva resultante está nos quadrantes de acordo com o sinal de :
  • : hipérbole nos primeiros e terceiros quadrantes.
  • : hipérbole nos segundo e quarto quadrantes.
  • : as curvas são os próprios eixos e .

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