Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
e) lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) sen 1x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como comporta essa função perto do ponto e usar algumas propriedades do seno e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que é . Quando se aproxima de , essa expressão tende a zero porque tanto quanto se aproximam de zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar . O seno de qualquer número sempre está entre e , ou seja, . Isso significa que é uma função oscilante, mas limitada.

Passo 4

Como temos um produto , podemos usar a propriedade de que se uma função está limitada e outra tende a zero, o produto também tende a zero. Especificamente, já que , temos:

Passo 5

Aplicando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), já que tende a zero, e está tanto acima quanto abaixo do nosso limite, concluímos que o limite também tende a zero.

Resposta

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