Determine o domínio de f e faça seu esboço nos seguintes casos:
c) f(x, y) = x*y / (x^2 - y^3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função e fazer seu esboço. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, que fazem parte da matéria de Cálculo Multivariável. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todos os pares que tornam a função válida, ou seja, onde o denominador não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores das variáveis independentes para os quais a função está definida. No caso de funções que envolvem frações, precisamos garantir que o denominador nunca seja zero, pois divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Na nossa função , o denominador é . Para evitar a divisão por zero, devemos ter:
Isso significa que:

Passo 4

Portanto, o domínio da função são todos os pares que satisfazem a condição . Em outras palavras, podemos dizer que o domínio é:

Passo 5

Para fazer o esboço da função, precisamos entender onde a função está definida. Como é a condição que exclui pontos do domínio, a curva será uma espécie de “barreira” onde a função não existe. Fora dessa curva, a função estará definida.

Passo 6

Ao esboçar, desenhamos a curva , que é simétrica em relação ao eixo y e passa pela origem. Em todas as outras regiões do plano , a função terá valores definidos. Esse esboço nos ajuda a visualizar onde a função está “permitida”.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares reais tais que . O esboço da função exclui a curva , mostrando que a função está definida em todas as regiões do plano que não estão sobre essa curva.

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