Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
n) lim (x, y) (0,0) x^4+3 x^2 y^2+2 x y^3(x^2+y^2)^2

Passo 1

Beleza! Então, o enunciado pede para a gente encontrar o valor do limite quando se aproxima de da função . Vamos usar conceitos de cálculo de limites em várias variáveis, e para isso, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de alguns caminhos simples, tipo e . Isso ajuda a ver se o limite pode depender do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto.

Passo 3

Vamos começar com o caminho onde x^4 + 3x^2(0)^2 + 2x(0)^3(x^2 + 0^2)^2 = x^4x^4 = 1 . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos pelo caminho onde 0^4 + 3(0)^2y^2 + 2(0)y^3(0^2 + y^2)^2 = 0y^4 = 0 . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 5

Notamos que, ao escolhermos caminhos diferentes para nos aproximar de , obtemos valores de limite diferentes (1 e 0). Isso indica que o limite não é o mesmo independentemente do caminho escolhido.

Passo 6

Para confirmar que o limite realmente não existe, podemos considerar outro caminho, como x^4 + 3x^2(kx)^2 + 2x(kx)^3(x^2 + (kx)^2)^2 = x^4 + 3k^2x^4 + 2k^3x^4x^4(1 + k^2)^2 = 1 + 3k^2 + 2k^3(1 + k^2)^2 , onde é uma constante. Substituindo na função:
Dependendo do valor de , esse resultado pode variar, confirmando que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
e) lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) sen 1x y
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
g) f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2), c = -1, 0, 2
Determine o domínio de f e faça seu esboço nos seguintes casos:
c) f(x, y) = x*y / (x^2 - y^3)
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
c) f(x, y, z) = x^2 + y^2, c = 1