Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um esboço das superfícies de nível da função
para os valores
. Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma superfície de nível. Basicamente, para uma função
, uma superfície de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem
. No nosso caso, queremos encontrar esses conjuntos para
.
Passo 3
Vamos começar com
. A equação fica:
Mas aí já dá para ver que isso não faz sentido! O lado esquerdo é uma raiz quadrada, que sempre retorna um valor não negativo. Então, não existe
que satisfaça essa equação quando
. Ou seja, para
não existe uma superfície de nível.
Passo 4
Agora, para
. A equação é:
A única maneira dessa raiz ser igual a zero é se:
Então, para
, a superfície de nível é apenas o ponto
, a origem.
Passo 5
Por fim, vamos para
. A equação fica:
Elevando ambos os lados ao quadrado pra simplificar:
Essa é a equação de uma esfera com raio 2 centrada na origem. Então, para
, a superfície de nível é uma esfera de raio 2.
Resposta
- Para
: Não existe superfície de nível. - Para
: A superfície de nível é apenas o ponto . - Para
: A superfície de nível é uma esfera com raio 2 centrada na origem.
Exercícios relacionados
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
a)
a)
Seja
.
(a) Encontre as curvas de nível da função
, para
e
.
(a) Encontre as curvas de nível
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
e)
e)
Determinar o valor dos seguintes limites, caso existam:
n)
n)