Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
g) f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2), c = -1, 0, 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um esboço das superfícies de nível da função para os valores . Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como elas se comportam para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma superfície de nível. Basicamente, para uma função , uma superfície de nível para um valor é o conjunto de pontos que satisfazem . No nosso caso, queremos encontrar esses conjuntos para .

Passo 3

Vamos começar com . A equação fica:
Mas aí já dá para ver que isso não faz sentido! O lado esquerdo é uma raiz quadrada, que sempre retorna um valor não negativo. Então, não existe que satisfaça essa equação quando . Ou seja, para não existe uma superfície de nível.

Passo 4

Agora, para . A equação é:
A única maneira dessa raiz ser igual a zero é se:
Então, para , a superfície de nível é apenas o ponto , a origem.

Passo 5

Por fim, vamos para . A equação fica:
Elevando ambos os lados ao quadrado pra simplificar:
Essa é a equação de uma esfera com raio 2 centrada na origem. Então, para , a superfície de nível é uma esfera de raio 2.

Resposta

  • Para : Não existe superfície de nível.
  • Para : A superfície de nível é apenas o ponto .
  • Para : A superfície de nível é uma esfera com raio 2 centrada na origem.

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